Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№940 учебника 2023-2025 (стр. 187):
(Для работы в парах.) Впишите вместо многоточия в выражение \[ (n + 8)(n - 4)\;-\;(n + 3)(n - 2)\;+\;\dots \] пропущенное число так, чтобы получилось выражение, значение которого при любом целом \(n\) делится на 3.
1) Преобразуйте в многочлен каждое из произведений двучленов и выполните вычитание.
2) Обсудите друг с другом, какому условию должно удовлетворять пропущенное число.
3) Впишите вместо многоточия каждый какое-либо число, удовлетворяющее условию задачи.
4) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание.
№940 учебника 2013-2022 (стр. 188):
Разложите на множители выражение \(x^6 - y^6\), представив его в виде:
а) разности квадратов;
б) разности кубов.
№940 учебника 2023-2025 (стр. 187):
№940 учебника 2013-2022 (стр. 188):
Вспомните:
№940 учебника 2023-2025 (стр. 187):
\( (n+8)(n-4) - (n+3)(n-2) + ...\)
1) \( (n+8)(n-4) - (n+3)(n-2) =\)
\(= n^2 -4n + 8n -32 - (n^2 - 2n + 3n - 6)= \)
\(= \cancel{n^2} -4n + 8n -32 - \cancel{n^2} + 2n - 3n + 6= \)
\(= 3n -26. \)
2) Пропущенное число должно быть таким, чтобы сумма этого числа и числа \(-26\) делилась нацело на 3.
3) Свободное число может быть равно:
\(-1; 2; 5\) и т.д.
Проверка:
\(3n - 26 + (-1) = 3n - 27 = \)
\(=3\,(n - 9) \) - делится на 3 для любого целого \(n\).
\( (n+8)(n-4) - (n+3)(n-2) + (-1)\)
\(3n - 26 + 2 = 3n - 24 = 3\,(n - 8) \) - делится на 3 для любого целого \(n\).
\( (n+8)(n-4) - (n+3)(n-2) + 2\)
\(3n - 26 + 5 = 3n - 21 = 3\,(n - 7) \) - делится на 3 для любого целого \(n\).
\( (n+8)(n-4) - (n+3)(n-2) + 5\)
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
– Умножение многочлена на многочлен: каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго многочлена.
– Приведение подобных слагаемых:
\(ax + bx = (a + b)x\).
— Условие кратности: если каждое из чисел \(a\) и \(b\) делится нацело на число \(k\), то и сумма \(a+b\) также делится нацело на число \(k\). Также, если в произведении один из множителей делится на число \(k\), то и произведение делится на \(k\).
В первом шаге мы раскрыли скобки и получили \(3n -26\).
Во втором шаге, провели рассуждения, учитывая условие делимости суммы на число 3.
Наконец, подобрали значения, подходящие для подстановки.
№940 учебника 2013-2022 (стр. 188):
а) \( x^6 - y^6 = (x^3)^2 - (y^3)^2 =\)
\(=(x^3 - y^3)(x^3 + y^3)= \)
\(=(x-y)(x^2 + xy + y^2)(x + y)(x^2 - xy + y^2).\)
б) \( x^6 - y^6 = (x^2)^3 - (y^2)^3 =\)
\(=(x^2 - y^2)\bigl(x^4 + x^2y^2 + y^4\bigr)= \)
\(= (x - y)(x + y)\bigl(x^4 + x^2y^2 + y^4\bigr). \)
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
— Формула разности квадратов: \[ u^2 - v^2 = (u - v)(u + v). \] В пункте (а) положили \(u = x^3\) и \(v = y^3\).
— Формула разности кубов: \[ u^3 - v^3 = (u - v)\bigl(u^2 + uv + v^2\bigr). \] В пункте (б) положили \(u = x^2\) и \(v = y^2\).
— Вторая применённая формула для \(x^2 - y^2\): \[ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y). \]
Пояснение к пункту а):
Чтобы представить \(x^6 - y^6\) как разность квадратов, заметили, что \(x^6 = (x^3)^2\) и \(y^6 = (y^3)^2\). По формуле разности квадратов сразу получаем \((x^3 - y^3)(x^3 + y^3)\).
Пояснение к пункту б):
Чтобы представить \(x^6 - y^6\) как разность кубов, заметили, что \(x^6 = (x^2)^3\) и \(y^6 = (y^2)^3\). Применили формулу разности кубов и получили \((x^2 - y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4)\). Затем внутри первого множителя снова применили формулу разности квадратов: \(x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)\).
Вернуться к содержанию учебника