Упражнение 895 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((a + b)^2 - 4ab = (a - b)^2\)

\( (a + b)^2 - 4ab =\)

\(=a^2 + 2ab + b^2 - 4ab =\)

\(=a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2. \)

Тождество доказано.

б) \((a - b)^2 + 4ab = (a + b)^2\)

\( (a - b)^2 + 4ab =\)

\(=a^2 - 2ab + b^2 + 4ab =\)

\(=a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2. \)

Тождество доказано.

в) \((x + 3)^3 + (x - 3)^3 = 2x^3 + 54x\).

\((x + 3)^3 + (x - 3)^3 =\)

\(= x^3 + \cancel{9x^2} + 27x + \cancel{27} + x^3 - \cancel{9x^2} + 27x - \cancel{27}= \)

\(= 2x^3 + 54x. \)

Тождество доказано.

Пояснения:

Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством. Чтобы доказать данные тождества, в каждом случае преобразуем левую часть и получаем правую часть.

Использованные формулы:

1) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

2) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений.

3) \( (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \) - куб разности двух выражений.

4) \( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \) - куб суммы двух выражений.

1. В пунктах а) и б) раскрыли скобки по формуле квадрата суммы и квадрата разности:

– для а): \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), затем вычли \(4ab\) и получили

\(a^2 - 2ab + b^2\), что соответствует

\((a - b)^2 \).

– для б): \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\), затем прибавили \(4ab\) и получили

\(a^2 + 2ab + b^2\), что соответствует

\((a + b)^2 \).

2. В пункте в) раскрыли кубы двучленов:

– \((x+3)^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27\).

– \((x-3)^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27\).

При сложении сократились члены \(9x^2\) и \(-9x^2\), а также числа \(27\) и \(-27\), остались \(2x^3 + 54x\).

а) \( 9y^2 - (1 + 2y)^2 = \)

\(= (3y)^2 - (1 + 2y)^2 = \)

\(=(3y - (1 + 2y))\,(3y + (1 + 2y)) =\)

\(=(3y - 1 - 2y)\,(3y + 1 + 2y) =\)

\(=(y - 1)\,(5y + 1). \)

б) \( (3c - 5)^2 - 16c^2 =\)

\( =(3c - 5)^2 - (4c)^2 =\)

\(=((3c - 5) - 4c)\,((3c - 5) + 4c) =\)

\(=(3c - 5 - 4c)\,(3c - 5 + 4c) =\)

\(=(-c - 5)\,(7c - 5). \)

в) \( 49x^2 - (y + 8x)^2 =\)

\(= (7x)^2 - (y + 8x)^2 =\)

\(=(7x - (y + 8x))\,(7x + (y + 8x)) =\)

\(=(7x - y - 8x)\,(7x + y + 8x) =\)

\(=(-x - y)\,(15x + y). \)

г) \( (5a - 3b)^2 - 25a^2 =\)

\( =(5a - 3b)^2 - (5a)^2 =\)

\(=((5a - 3b) - 5a)\,((5a - 3b) + 5a) =\)

\(=-3b(10a - 3b). \)

д) \( (-2a^2 + 3b)^2 - 4a^4 =\)

\( =(-2a^2 + 3b)^2 - (2a^2)^2 =\)

\(=((-2a^2 + 3b) - 2a^2)\,((-2a^2 + 3b) + 2a^2) =\)

\(=(-2a^2 + 3b - 2a^2)\,(-2a^2 + 3b + 2a^2) =\)

\(=(3b-4a^2)\cdot3b. \)

е) \( b^6 - (x - 4b^3)^2 =\)

\( =(b^3)^2 - (x - 4b^3)^2 =\)

\(=(b^3 - (x - 4b^3))\,(b^3 + (x - 4b^3)) =\)

\(=(b^3 - x + 4b^3)\,(b^3 + x - 4b^3) =\)

\(=(5b^3 - x)\,(x - 3b^3). \)

Пояснения:

Использованная формула:

\( u^2 - v^2 = (u - v)(u + v). \) - разность квадратов двух выражений.

При этом учитываем свойства степени:

\(a^nb^n=(ab)^n\);

\((a^m)^n = a^{m\cdot{n}}\) .

1. В каждом пункте исходное выражение представлено как разность квадратов двух величин \(u\) и \(v\), после чего применили формулу.

2. Для каждого случая задали \(u\) и \(v\) по примеру:

а) \(u = 3y\), \(v = 1 + 2y\);

б) \(u = 3c - 5\), \(v = 4c\);

в) \(u = 7x\), \(v = y + 8x\);

г) \(u = -2a^2 + 3b\), \(v = 2a^2\);

д) \(u = b^3\), \(v = x - 4b^3\);

е) \(u = 5a - 3b\), \(v = 5a\).

3. Раскрыв скобки в скобках \((u - v)\) и \((u + v)\). При раскрытии скобок помним, если перед скобками стоит знак минус, то при раскрытии скобок знаки всех слагаемых в скобках меняем на противоположные.

4. Привели подобные члены в каждом множителе:

\(ax + bx=(a+b)x\).