Упражнение 875 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 176

а) \((3x^2 - 1)(3x^2 + 1) = \)

\(=(3x^2)^2 - 1^2 = 9x^4 - 1\)

б) \((5a - b^3)(b^3 + 5a) =\)

\(=(5a)^2 - (b^3)^2 = 25a^2 - b^6\)

в) \(\bigl(\tfrac{3}{7}m^3 + \tfrac{1}{4}n^3\bigr)\bigl(\tfrac{3}{7}m^3 - \tfrac{1}{4}n^3\bigr) =\)

\(=\bigl(\tfrac{3}{7}m^3\bigr)^2 - \bigl(\tfrac{1}{4}n^3\bigr)^2 =\)

\(=\tfrac{9}{49}m^6 - \tfrac{1}{16}n^6\)

г) \(\bigl(\tfrac{1}{15} - \tfrac{1}{8}p^6\bigr)\bigl(\tfrac{1}{8}p^6 + \tfrac{1}{15}\bigr) = \)

\(=\bigl(\tfrac{1}{15}\bigr)^2 - \bigl(\tfrac{1}{8}p^6\bigr)^2 = \tfrac{1}{225} - \tfrac{1}{64}p^{12}\)

д) \((0{,}4y^3 + 5a^2)(5a^2 - 0{,}4y^3) =\)

\(=(5a^2)^2 - (0{,}4y^3)^2 =\)

\(=25a^4 - 0{,}16y^6\)

е) \((1{,}2c^2 - 7a^2)(1{,}2c^2 + 7a^2) =\)

\(=(1{,}2c^2)^2 - (7a^2)^2 =\)

\(=1{,}44c^4 - 49a^4\)

ж) \(\bigl(\tfrac{5}{8}x + y^5\bigr)\bigl(y^5 - \tfrac{5}{8}x\bigr) =\)

\(=(y^5)^2 - \bigl(\tfrac{5}{8}x\bigr)^2 = y^{10} - \tfrac{25}{64}x^2\)

з) \(\bigl(\tfrac{1}{7}p^5 - 0{,}01\bigr)\bigl(0{,}01 + \tfrac{1}{7}p^5\bigr) =\)

\(=\bigl(\tfrac{1}{7}p^5\bigr)^2 - (0{,}01)^2 =\)

\(=\tfrac{1}{49}p^{10} - 0{,}0001\)

Пояснения:

Использованная формула:

\( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) - произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Также помним свойства степени:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n;\)

\((a^m)^n = a^{m\cdot{n}}.\)

а) \(5a(a-8)-3(a+2)(a-2)=\)

\(=5a^2-40a-3(a^2-4)=\)

\(=5a^2-40a-3a^2+12=\)

\(=2a^2-40a+12.\)

б) \((1-4b)(4b+1)+6b(b-2)=\)

\(=1 - 16b^2+6b^2-12b=\)

\(=-10b^2-12b+1.\)

в) \((8p-q)(q+8p)-(p+q)(p-q)=\)

\(=64p^2-q^2-(p^2-q^2)=\)

\(=64p^2-\cancel{q^2}-p^2+\cancel{q^2}=63p^2.\)

г) \((2x-7y)(2x+7y)+(2x-7y)(7y-2x)=\)

\(=4x^2-49y^2-(7y-2x)(7y-2x)=\)

\(=4x^2-49y^2-(7y-2x)^2=\)

\( = 4x^2-49y^2-(49y^2 - 28xy+4x^2)=\)

\( = \cancel{4x^2}-49y^2-49y^2 + 28xy-\cancel{4x^2})=\)

\(=28xy-98y^2.\)

Пояснения:

Использованные приемы и формулы:

1) \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) - произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

3)  При раскрытии формул, использовали свойство степени:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)

4) Умножение одночлена на многочлен:

\(a(b+c) = ab+ac\).

5) Раскрытие скобок: если перед скобками стоит знак минус, то при их раскрытии нужно поменять все знаки в скобках на противоположные:

\(a - (b + c) = a - b - c\).

6) Приведение подобных членов: складываем (вычитаем) коэффициенты у одночленов, имеющих одинаковую буквенную часть:

\(ax + bx = (a + b)x\).

В каждом пункте раскрыли скобки по правилам указанным выше, затем привели подобные и получили упрощенное выражение.