Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№864 учебника 2023-2025 (стр. 173):
Докажите, что выражение принимает лишь положительные значения:
а) \(x^2 + 2x + 2\);
б) \(4y^2 - 4y + 6\);
в) \(a^2 + b^2 - 2ab + 1\);
г) \(9x^2 + 4 - 6xy + 4y^2\).
№864 учебника 2013-2022 (стр. 174):
Выполните умножение:
а) \(( -m^2 + 8 )( m^2 + 8 )\);
б) \(( 5y - y^2 )( y^2 + 5y )\);
в) \(( 6n^2 + 1 )( -6n^2 + 1 )\);
г) \(( -7ab - 0,2 )( 0,2 - 7ab )\).
№864 учебника 2023-2025 (стр. 173):
Вспомните:
№864 учебника 2013-2022 (стр. 174):
Вспомните:
№864 учебника 2023-2025 (стр. 173):
а) \(x^2 + 2x + 2 = (x^2 + 2x + 1) + 1 = \)
\(=(x + 1)^2 + 1 > 0\) при любом \(x\).
б) \(4y^2 - 4y + 6 = \)
\(=((2y)^2 - 2\cdot2y\cdot1 + 1) + 5 = \)
\(=(2y - 1)^2 + 5 > 0\) при любом \(x\).
в) \(a^2 + b^2 - 2ab + 1 = \)
\((a^2 - 2ab + b^2) + 1 = \)
\(=(a - b)^2 + 1 > 0\) при любом \(x\).
г) \(9x^2 + 4 - 6xy + 4y^2 =\)
\(=(9x^2 - 6xy + y^2) + 3y^2 + 4 =\)
\(=(3x - y)^2 + 3y^2 + 4 > 0\) при любом \(x\).
Пояснения:
Использованные формулы:
1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,
2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.
При этом учитывали свойство степени:
\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)
а) Представляем \(x^2 + 2x + 2\) как
\(x^2 + 2x + 1 + 1 = (x + 1)^2 + 1. \)
Так как \((x + 1)^2 \ge 0\), то сумма с 1 больше нуля.
б) Представляем \(4y^2 - 4y + 6 \) как
\(((2y)^2 - 2\cdot2y\cdot1 + 1) + 5 = \)
\(=(2y - 1)^2 + 5\)
Так как \((2y - 1)^2 \ge 0\), то сумма с 5 больше нуля.
в) В выражении \(a^2 + b^2 - 2ab + 1\) меняем слагаемые местами и получаем:
\( a^2 - 2ab + b^2 + 1 = (a - b)^2 + 1. \)
Так как \((a - b)^2 \ge 0\), то сумма с 1 больше нуля.
г) Учитывая то, что \(4y^2 = y^2 + 3y^2\), представляем выражение
\(9x^2 + 4 - 6xy + 4y^2\) как
\((9x^2 - 6xy + y^2) + 3y^2 + 4 =\)
\(=(3x - y)^2 + 3y^2 + 4.\)
Так как \((3x - y)^2 \ge 0\) и \(3y^2 \ge 0\), то их сумма с 4 больше нуля.
№864 учебника 2013-2022 (стр. 174):
а) \( (-m^2+8)(8 + m^2) = \)
\(=(8 - m^2)(8 + m^2) =\)
\(=8^2 - (m^2)^2 = 64 - m^4\).
б) \(( 5y - y^2 )( y^2 + 5y )=\)
\(=( 5y - y^2 )( 5y + y^2 )=\)
\(=(5y)^2 - (y^2)^2 = 25y^2 - y^4\).
в) \((6n^2 + 1)(-6n^2 + 1) = \)
\(=(1 + 6n^2)(1 - 6n^2) =\)
\(=1^2 - (6n^2)^2= 1 - 36n^4.\)
г) \(( -7ab - 0,2 )( 0,2 - 7ab )=\)
\(=-(0,2 + 7ab )( 0,2 - 7ab )=\)
\(=-(0,2^2 - (7ab)^2)=\)
\(=-(0,04 - 49a^2b^2)=\)
\(=49a^2b^2 - 0,04.\)
Пояснения:
Использованная формула:
\( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) - произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.
Также помним, чтобы записать сумму, противоположную сумме нескольких слагаемых, надо изменить знаки данных слагаемых:
\(-(a + b) = -a - b.\)
При выполнении преобразований, использовали свойства степени:
\((a\cdot{b})^n = a^nb^n;\)
\((a^m)^n = a^{mn}.\)
Вернуться к содержанию учебника