Упражнение 861 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^4 - 8x^2y^2 + 16y^4 =\)

\(=(x^2)^2 - 2\cdot{x^2}\cdot{4y^2} + 16y^4 =\)

\(=(x^2 - 4y^2)^2\).

б) \(\tfrac{1}{16}x^4 + 2x^2a + 16a^2 = \)

\(=(\tfrac{1}{4}x^2)^2 + 2\cdot\tfrac{1}{4}x^2\cdot4a + (4a)^2 = \)

\(=\bigl(\tfrac{1}{4}x^2 + 4a\bigr)^2\).

в) \(\tfrac{1}{4}a^2 + 2ab^2 + 4b^4 =\)

\(=(\tfrac{1}{2}a)^2 + 2\cdot\tfrac{1}{2}a\cdot2b^2 + (2b^2)^2 =\)

\(=\bigl(\tfrac{1}{2}a + 2b^2\bigr)^2\).

г) \(a^2x^2 - 2abx + b^2 =\)

\(=(ax)^2 - 2\cdot{ax}\cdot{b} + b^2 =\)

\(=(ax - b)^2\).

Пояснения:

Использованные формулы:

1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,

2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

При этом учитывали свойства степени:

\((a^m)^n=(a)^{m\cdot{n}};\)

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)

а) Видим \(x^4 = (x^2)^2\), \(16y^4 = (4y^2)^2\) и среднее слагаемое

\(-8x^2y^2 = -2\cdot x^2\cdot4y^2\).

По формуле квадрата разности получаем \((x^2 - 4y^2)^2\).

б) Здесь \(\tfrac{1}{16}x^4 = (\tfrac{1}{4}x^2)^2\),

\(16a^2 = (4a)^2\) и среднее слагаемое

\(2x^2a = 2\cdot\tfrac{1}{4}x^2\cdot4a\).

По формуле квадрата суммы получаем \(\bigl(\tfrac{1}{4}x^2 + 4a\bigr)^2\).

в) Замечаем \(\tfrac{1}{4}a^2 = (\tfrac{1}{2}a)^2\),

\(4b^4 = (2b^2)^2\) и среднее слагаемое

\(2ab^2 = 2\cdot\tfrac{1}{2}a\cdot2b^2\).

По формуле квадрата суммы получаем \(\bigl(\tfrac{1}{2}a + 2b^2\bigr)^2\).

г) Здесь \(a^2x^2 = (ax)^2\), \(b^2 = b^2\) и среднее слагаемое

\(-2abx = -2\cdot ax\cdot b\).

По формуле квадрата разности получаем \((ax - b)^2\).

а) 52 · 48 = (50 + 2)(50 – 2) =

= 50² – 2² = 2500 – 4 = 2496

б) 37 · 43 = (40 – 3)(40 + 3) =

= 40² – 3² = 1600 – 9 = 1591

в) 6,01 · 5,99 = (6 + 0,01)(6 – 0,01) =

= 6² – (0,01)² = 36 – 0,0001 = 35,9999

г) 2,03 · 1,97 = (2 + 0,03)(2 – 0,03) =

= 2² – (0,03)² = 4 – 0,0009 = 3,9991

д) 17,3 · 16,7 = (17 + 0,3)(17 – 0,3) =

= 17² – (0,3)² = 289 – 0,09 = 288,91

е) 29,8 · 30,2 = (30 – 0,2)(30 + 0,2) =

= 30² – (0,2)² = 900 – 0,04 = 899,96

ж) 9,7 · 10,3 = (10 – 0,3)(10 + 0,3) =

= 10² – (0,3)² = 100 – 0,09 = 99,91

з) 50,2 · 49,8 = (50 + 0,2)(50 – 0,2) =

= 50² – (0,2)² = 2500 – 0,04 = 2499,96

и) 4,6 · 5,4 = (5 – 0,4)(5 + 0,4) =

= 5² – (0,4)² = 25 – 0,16 = 24,84

Пояснения:

Использованная формула:

\( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) - произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

В каждом случае множители представили чрез сумму и разность одинаковых чисел, например,

52 = 50 + 2 и 48 = 50 – 2.

Затем применили формулу разности квадратов.