Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№859 учебника 2023-2025 (стр. 173):
Поставьте вместо многоточия какой-либо из знаков \(≥\) или \(≤\) так, чтобы получившееся неравенство было верно при любом значении \(x\):
а) \(x^2 - 16x + 64 \;\dots\; 0\);
б) \(16 + 8x + x^2 \;\dots\; 0\);
в) \(-x^2 - 4x - 4 \;\dots\; 0\);
г) \(-x^2 + 18x - 81 \;\dots\; 0\).
№859 учебника 2013-2022 (стр. 174):
Представьте в виде многочлена произведение:
а) \((3x^2 - 1)(3x^2 + 1)\);
б) \((5a - b^3)(b^3 + 5a)\);
в) \(\bigl(\tfrac{3}{7}m^3 + \tfrac{1}{4}n^3\bigr)\bigl(\tfrac{3}{7}m^3 - \tfrac{1}{4}n^3\bigr)\);
г) \(\bigl(\tfrac{1}{15} - \tfrac{1}{8}p^6\bigr)\bigl(\tfrac{1}{8}p^6 + \tfrac{1}{15}\bigr)\);
д) \((0{,}4y^3 + 5a^2)(5a^2 - 0{,}4y^3)\);
е) \((1{,}2c^2 - 7a^2)(1{,}2c^2 + 7a^2)\);
ж) \(\bigl(\tfrac{5}{8}x + y^5\bigr)\bigl(y^5 - \tfrac{5}{8}x\bigr)\);
з) \(\bigl(\tfrac{1}{7}p^5 - 0{,}01\bigr)\bigl(0{,}01 + \tfrac{1}{7}p^5\bigr)\).
№859 учебника 2023-2025 (стр. 173):
Вспомните:
№859 учебника 2013-2022 (стр. 174):
Вспомните:
№859 учебника 2023-2025 (стр. 173):
а) \(x^2 - 16x + 64 = (x - 8)^2 \ge 0\)
\((x - 8)^2 \ge 0\)
б) \((x + 4)^2 \ge 0\)
\((x + 4)^2 \ge 0\)
в) \(-x^2 - 4x - 4 \le 0\)
\(-\,(x + 2)^2 \le 0\)
г) \(-x^2 + 18x - 81 \le 0\)
\(-\,(x - 9)^2 \le 0\)
Пояснения:
Использованные приемы и формулы:
1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,
2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.
3) Квадрат двучлена неотрицателен:
\( a^2 \ge 0. \)
4) При умножении неотрицательного числа на \(-1\) получается не положительное число: \( -a^2 \le 0. \)
Пояснение к пункту а):
Применили формулу полного квадрата:
\(x^2 - 16x + 64 = (x - 8)^2\).
Так как любой квадрат \(≥ 0\), то
\( (x - 8)^2 \ge 0\).
Пояснение к пункту б):
Применили формулу полного квадрата:
\(x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2\).
Так как любой квадрат \(≥ 0\), то
\( (x + 4)^2 \ge 0\).
Пояснение к пункту в):
Вынесли «−» и получили полный квадрат:
\(-x^2 - 4x - 4 =\)
\(=-\,(x^2 + 4x + 4) =\)
\(=-\,(x + 2)^2\).
Минус квадрата любого выражения всегда \(≤ 0\), значит,
\(-\,(x + 2)^2 \le 0\).
Пояснение к пункту г):
Вынесли «−» и получили полный квадрат:
\(-x^2 + 18x - 81 =\)
\(=-\,(x^2 - 18x + 81) =\)
\(=-\,(x - 9)^2\).
Минус квадрата любого выражения всегда \(≤ 0\), значит,
\(-\,(x - 9)^2 \le 0.\)
№859 учебника 2013-2022 (стр. 174):
а) \((3x^2 - 1)(3x^2 + 1) = \)
\(=(3x^2)^2 - 1^2 = 9x^4 - 1\)
б) \((5a - b^3)(b^3 + 5a) =\)
\(=(5a)^2 - (b^3)^2 = 25a^2 - b^6\)
в) \(\bigl(\tfrac{3}{7}m^3 + \tfrac{1}{4}n^3\bigr)\bigl(\tfrac{3}{7}m^3 - \tfrac{1}{4}n^3\bigr) =\)
\(=\bigl(\tfrac{3}{7}m^3\bigr)^2 - \bigl(\tfrac{1}{4}n^3\bigr)^2 =\)
\(=\tfrac{9}{49}m^6 - \tfrac{1}{16}n^6\)
г) \(\bigl(\tfrac{1}{15} - \tfrac{1}{8}p^6\bigr)\bigl(\tfrac{1}{8}p^6 + \tfrac{1}{15}\bigr) = \)
\(=\bigl(\tfrac{1}{15}\bigr)^2 - \bigl(\tfrac{1}{8}p^6\bigr)^2 = \tfrac{1}{225} - \tfrac{1}{64}p^{12}\)
д) \((0{,}4y^3 + 5a^2)(5a^2 - 0{,}4y^3) =\)
\(=(5a^2)^2 - (0{,}4y^3)^2 =\)
\(=25a^4 - 0{,}16y^6\)
е) \((1{,}2c^2 - 7a^2)(1{,}2c^2 + 7a^2) =\)
\(=(1{,}2c^2)^2 - (7a^2)^2 =\)
\(=1{,}44c^4 - 49a^4\)
ж) \(\bigl(\tfrac{5}{8}x + y^5\bigr)\bigl(y^5 - \tfrac{5}{8}x\bigr) =\)
\(=(y^5)^2 - \bigl(\tfrac{5}{8}x\bigr)^2 = y^{10} - \tfrac{25}{64}x^2\)
з) \(\bigl(\tfrac{1}{7}p^5 - 0{,}01\bigr)\bigl(0{,}01 + \tfrac{1}{7}p^5\bigr) =\)
\(=\bigl(\tfrac{1}{7}p^5\bigr)^2 - (0{,}01)^2 =\)
\(=\tfrac{1}{49}p^{10} - 0{,}0001\)
Пояснения:
Использованная формула:
\( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) - произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.
Также помним свойства степени:
\((a\cdot{b})^n = a^nb^n;\)
\((a^m)^n = a^{m\cdot{n}}.\)
Вернуться к содержанию учебника