Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№797 учебника 2023-2025 (стр. 162):
Упростите выражение и найдите его значение при указанных значениях переменных:
а) \(126y^3 + (x - 5y)(x^2 + 25y^2 + 5xy)\) при \(x = -3\), \(y = -2\);
б) \(m^3 + n^3 - (m^2 - 2mn - n^2)(m - n)\) при \(m = -3\), \(n = 4\).
№797 учебника 2013-2022 (стр. 162):
Докажите, что если \(b + c = 10\), то
\[ (10a + b)(10a + c) = 100a(a + 1) + bc. \]
Воспользовавшись этой формулой, вычислите:
а) \(23 \cdot 27\);
б) \(42 \cdot 48\);
в) \(59 \cdot 51\);
г) \(84 \cdot 86\).
№797 учебника 2023-2025 (стр. 162):
Вспомните:
№797 учебника 2013-2022 (стр. 162):
Вспомните:
№797 учебника 2023-2025 (стр. 162):
а) \(126y^3 + (x - 5y)(x^2 + 25y^2 + 5xy) =\)
\(= 126y^3 + x^3 + \cancel{25xy^2} + \cancel{5x^2y} - \cancel{5x^2y} - 125y^3 - \cancel{25xy^2}=\)
\(= x^3 + y^3\).
Если \(x = -3\), \(y = -2\), то:
\((-3)^3 + (-2)^3 = -27 + (-8) = -35.\)
б) \(m^3 + n^3 -(m^2 - 2mn - n^2)(m - n)=\)
\(=m^3 + n^3 - (m^3 - m^2n -2m^2n +2mn^2 - mn^2 + n^3)=\)
\(=\cancel{m^3} + \cancel{n^3} - \cancel{m^3} + 3m^2n - mn^2 - \cancel{n^3}=\)
\(= 3m^2n - mn^2.\)
Если \(m = -3\), \(n = 4\), то
\(3\cdot(-3)^2\cdot4 - (-3)\cdot4^2 =\)
\(3\cdot9\cdot4 +3\cdot16 =\)
\(=108 +48 = 156.\)
Пояснения:
1. Основное правило: для раскрытия произведения суммы на сумму используем дистрибутивность
\[(a + b + c)(d + e) =\)
\(=ad + ae + bd + be + cd + ce.\]
2. После раскрытия скобок необходимо собрать подобные члены — одинаковые по степеням и переменным, при этом противоположные члены вычеркиваем, так как их сумма равна нулю.
а) Раскрыв обе скобки, мы получили \(x^3 -125y^3\), затем сложили с \(126y^3\), что дало \(x^3 + y^3\). После подстановки чисел выполнили арифметические вычисления.
б) Сначала раскрыли скобки в произведении, получили комбинацию из \(m^3\), \(m^2n\), \(mn^2\), \(n^3\), затем вычли этот результат из \(m^3 + n^3\), что упростилось до \(3m^2n - mn^2\). После подстановки чисел выполнили арифметические вычисления.
№797 учебника 2013-2022 (стр. 162):
Если \(b + c = 10\), то
\( (10a + b)(10a + c) = \)
\(=100a(a + 1) + bc\)
Доказательство:
\( (10a + b)(10a + c) = \)
\(=100a^2 + 10ac + 10ab + bc =\)
\(=100a^2 + (10ab + 10ac) + bc =\)
\(=100a^2 + 10a(b + c) + bc= \)
\(= 100a^2 + 10a\cdot10 + bc = \)
\(=100a^2 + 100a + bc = \)
\(=100a(a+1) + bc. \)
а) \(a=2,\;b=3,\;c=7\)
\(23 \cdot 27 = 100\cdot2\cdot3 + 3\cdot7 =\)
\(=600 + 21 = 621. \)
б) \(a=4,\;b=2,\;c=8\)
\(42 \cdot 48 = 100\cdot4\cdot5 + 2\cdot8 =\)
\(=2000 + 16 = 2016. \)
в) \(a=5,\;b=9,\;c=1\)
\(59 \cdot 51 = 100\cdot5\cdot6 + 9\cdot1 =\)
\(=3000 + 9 = 3009. \)
г) \(a=8,\;b=4,\;c=6\)
\(84 \cdot 86= 100\cdot8\cdot9 + 4\cdot6 =\)
\(=7200 + 24 = 7224. \)
Пояснения:
1. Раскрытие скобок: мы применили правило умножения многочлена на многочлен, умножив каждый член одного многочлена на каждый член другого многочлена
\((a + b)(c + d)=ac + ad + bc + bd\).
2. Условие \(b+c=10\): позволяет заменить сумму \(b + c\) на 10 и выделить общий множитель \(100a\).
3. Применение к двузначным числам: любое двухзначное число записывается как \(\overline{ab}=10a+b\), где \(a\) — десятки, \(b\) — единицы; а второе число с теми же десятками
\(\overline{ac}=10a+c\), где \(a\) — десятки, \(c\) — единицы.
Вернуться к содержанию учебника