Упражнение 762 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 158

Пусть \(2x\), \(4x\), \(5x\), \(6x\) - искомые числа.

\((5x + 6x) - (2x + 4x) = 4,8\)

\(11x - 6x = 4,8\)

\(5x = 4,8\)

\(x = \frac{4{,}8}{5} \)

\(x = 0{,}96\).

\(2 \cdot 0{,}96 = 1{,}92\) - первое число.

\(4 \cdot 0{,}96 = 3{,}84\) - второе число.

\(5 \cdot 0{,}96 = 4{,}8\) - третье число.

\(6 \cdot 0{,}96 = 5{,}76\) - пятое число.

Ответ: \(1,92; 3,84; 4,8; 5,76\).

Пояснения:

Использованные правила:

1. Пропорциональные числа: если искомые числа пропорциональны \(2,4,5,6\), то существует множитель \(x\), такой что эти числа будут равны

\(2x\), \(4x\), \(5x\), \(6x\).

2. Раскрытие скобок: если перед скобками стоит знак "минус", то при их раскрытии знаки всех членов нужно поменять на противоположные.

3. Приведение подобных членов:

\(ka + la = (k + l)a\).

4. Перенос членов через знак «=»: если

\(A + C= B + D\), то

\(A - D = B - C\).

5. Решение линейного уравнения:

из \(ax = b\) следует \(x = \tfrac{b}{a}\) при \(a\neq0\).

Комментарии к шагам:

1. Ввели переменную \(x\) для обеспечения пропорциональности к данным числам.

2. Составили уравнение по условию:

\((5x + 6x) - (2x + 4x) = 4,8\).

3. Привели подобные члены и решили линейное уравнение \(5x = 4,8\), получили \(x = 0,96\).

4. Подставили найденное \(x\) в выражения \(2x\), \(4x\), \(5x\), \(6x\) и вычислили значения.

Пусть \(x\) км/ч - скорость течения реки.

Составим уравнение:

\( 6(15 + x) = 10(15 - x) - 20 \)

\( 90 + 6x = 150 - 10x - 20 \)

\[ 90 + 6x = 130 - 10x \]

\[ 6x + 10x = 130 - 90 \]

\[ 16x = 40 \]

\[ x = \frac{40}{16} \]

\[ x = 2{,}5 \]

Ответ: скорость течения равна \(2{,}5\) км/ч.

Пояснения:

Используем формулу пути при равномерном движении:

\[ S = v \times t, \]

где \(S\) — путь, \(v\) — скорость, \(t\) — время.

Скорость катера относительно берега при течении:

\[ v_{\text{по теч.}} = 15 + x, \]

\[ v_{\text{против теч.}} = 15 - x. \]

По условию путь по течению на 20 км меньше пути против течения, что и учтено в уравнении:

\( 6(15 + x) = 10(15 - x) - 20. \)

Далее раскрытие скобок, используя распределительное свойство умножения:

\(a(b + c) = ab + ac\).

Перенесли подобные, сменив их знаки, и привели подобные:

\(ka + la = (k + l)a\).

Решение линейного уравнения вида \(ax = b\) через деление: \(x = \frac{b}{a}\).

Полученное значение \(2{,}5\) км/ч и является искомой скоростью течения реки.