Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз. |
Примеры:
1) - периметр квадрата, - его сторона.
= 4.
Если = 1 см, то = 41 = 4 (см).
Если = 2 см, то = 42 = 8 (см).
Если = 4 см, то = 44 = 16 (см).
Получаем, что каждый раз, увеличивая сторону квадрата в 2 раза, его периметр также будет увеличиваться в 2 раза. Аналогично, если сторону квадрата будем уменьшать в какое-то число раз, то и периметр квадрата будет уменьшаться в это же число раз. Следовательно, величины и прямо пропорциональны. Можно сказать еще и так: "величина прямо пропорциональна величине " или "зависимость между величинами и является прямой пропорциональностью".
2) При движении с постоянной скоростью, пройденный путь и время движения прямо пропорциональны, т.к. пройденный путь равен произведению скорости и времени движения.
Пусть скорость движения пешехода 8 км/ч.
Если = 1 ч, то = 81 = 8 (км).
Если = 3 ч, то = 83 = 24 (км).
Если = 9 ч, то = 89 = 72 (км).
Получаем, что каждый раз, увеличивая время в пути в 3 раза, путь также будет увеличиваться в 3 раза, а это и говорит о том, что зависимость между величинами и является прямой пропорциональностью, при условии движения с постоянной скоростью.
Свойство прямо пропорциональных величин:
Если две величины прямо пропорциональны, то отношение соответствующих значений этих величин равно одному и тому же, постоянному для данных величин, числу. |
В рассмотренных выше примерах для величин и это число равно 4, т.к. : = 4 : 1 = 8 : 2 = 16 : 4 = 4, а для величин и это число равно 8, т.к. : = 8 : 1 = 24 : 3 = 72 : 9 = 8.
Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз. |
Примеры:
1) Если расстояние является постоянной величиной, то скорость и время движения обратно пропорциональны, т.к. время движения равно частному от деления расстояния на скорость движения.
Пусть расстояние равно 80 км.
Если = 10 км/ч, то = 80 : 10 = 8 (ч).
Если = 20 км/ч, то = 80 : 20 = 4 (ч).
Если = 40 км/ч, то = 80 : 40 = 2 (ч).
Получаем, что каждый раз, увеличивая скорость движения в 2 раза, время движения будет уменьшаться в 2 раза, а это и говорит о том, что зависимость между величинами и является обратной пропорциональностью, при том условии, что расстояние нужно проехать одинаковое.
2) и - стороны прямоугольника, а его площадь 36 см2.
Если = 3 см, то = 36 : 3 = 12 (см).
Если = 6 см, то = 36 : 6 = 6 (см).
Получаем, что величины и обратно пропорциональны, т.к. увеличивая (уменьшая) одну сторону прямоугольника в 2 раза, чтобы его площадь не изменилась, вторую сторону нужно уменьшить (увеличить) в 2 раза.
Свойство обратно пропорциональных величин:
Если две величины обратно пропорциональны, то произведение соответствующих значений этих величин равно одному и тому же для данных величин числу. |
В рассмотренных выше примерах для величин и это число равно 80, т.к. = 108 = 204 = 402 = 80, а для величин и это число равно 12, т.к. = 312 = 66 = 36.
Не всякие величины являются прямо пропорциональными или обратно пропорциональными. Например, размер обуви человека увеличивается при увеличении его возраста, но эти величины не являются пропорциональными, т.к. при удвоении возраста размер обуви человека не удваивается.
Пусть нам дана задача:
Украшение состоит из белого и желтого золота массой 192 г. При этом масса белого золота относится к массе желтого золота как 5 : 7. Надо найти массу белого и желтого золота, из которых сделано украшение.
Решение:
Мы можем считать, что все украшение состоит из 5 + 7 = 12 частей одинаковой массы. По условию масса украшения равна 192 г, а значит, масса одной части украшения равна 192 : 12 = 16 г.
Белое золото соответствует 5 частям, то есть имеет массу 516 = 80 г, а желтое золото соответствует 7 частям, то есть имеет массу 716 = 112 г.
Итак мы получили, что украшение состоит из 80 г белого золота и 112 г желтого золота.
То есть мы число 192 (масса украшения) представить в виде суммы двух слагаемых - 80 и 112, отношение которых равно 5 : 7.
В этом случае говорят, что число 192 разделили в отношении 5 : 7, или по-другому, число 192 представили в виде суммы двух слагаемых, пропорциональных числам 5 и 7.
Длина окружности и площадь круга
6 класс
Номер 673, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 685, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 688, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 690, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 4, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Задание 836, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 864, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 3.70, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 1
Задание 3.95, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 1
Задание Проверочная работа №1, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 1
7 класс
Номер 846, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 847, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1000, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1235, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник