Упражнение 760 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 158

\[ \overline{ab} = 10a + b,\quad \overline{ba} = 10b + a. \]

а) \( \overline{ab} + \overline{ba} =\)

\(=(10a + b) + (10b + a) =\)

\(=10a + b + 10b + a =\)

\(=11a + 11b = 11\,(a + b) \) - кратно сумме \(a+b\).

б) \( \overline{ab} - \overline{ba} =\)

\(=(10a + b) - (10b + a) =\)

\(=10a + b - 10b - a =\)

\(=9a - 9b = 9\,(a - b). \) - кратно 9.

Пояснения:

1. Десятичная запись. Число \(\overline{ab}\) в виде многочлена равно \(10a + b\),

где \(a\) — количество десятков,

\(b\) — количество единиц.

2. Делимость на сумму цифр. Выражение \(11(a+b)\) содержит множитель \((a+b)\), поэтому делится на него без остатка.

3. Делимость на 9. Произведение \(9\,(a-b)\) содержит множитель 9, значит, разность чисел делится на 9.

1) \(2 \text{ч } 24 \text{ мин} =2\frac{\cancel{24}^2}{\cancel{60}^5}\text{ ч}=2\frac{2}{5}\text{ ч}=2,4\text{ ч}\)

2) \(120 \cdot 2 = 240 \text{ (км)}\) - вместе проехали первый и второй мотоциклисты.

3) Составим уравнение:

а) \(2{,}4\cdot1{,}5x + 2{,}4x = 240\)

\(3,6x + 2{,}4x = 240\)

\(6x = 240\)

\(x = \frac{240}{6}\)

\(x = 40 \text{ (км/ч)}\) - скорость первого мотоциклиста.

4) \(1{,}5x = 1{,}5 \cdot 40 = 60 \text{ (км/ч)}\) - скорость второго мотоциклиста.

б) \(120 - 2,4\cdot40 = 120 - 96 = \)

\(=24 \text{ (км)}\) - расстояние от места встречи до B.

Ответ: 40 км/ч, 60 км/ч, 24 км.

Пояснения:

Использованные формулы и обозначения:

\(x\) — скорость первого (медленного) мотоциклиста;

\(1{,}5x\) — скорость второго (быстрого) мотоциклиста;

\(s = vt\) — путь равен произведению скорости на время.

1. За время \(t = 2{,}4\) ч (т.е. 2 ч 24 мин) первый проехал от A до точки встречи путь

\[x \cdot 2{,}4 = 2{,}4x.\]

2. Второй за это же время прошёл путь

\[1{,}5x \cdot 2{,}4 = 3{,}6x,\]

из которых первые 120 км — от A до B, а оставшиеся — от B до места встречи, то есть получается, что вместе мотоциклисты проехали

\(120 \cdot 2 = 240 \text{ (км)}\), поэтому составляем следующее уравнение:

\(3{,}6x + 2{,}4x = 240\), откуда

\(6x = 240\) и получаем, что скорость первого мотоциклиста:

\(x = 40 \text{ (км/ч)}\).

Значит, скорость второго мотоциклиста:

\(1{,}5x = 1{,}5 \cdot 40 = 60 \text{ (км/ч)}\)

Расстояние до встречи - это расстояние, которое первый велосипедист не доехал до пункта В, тогда, учитывая то что расстояние между пунктами А и В равно 120 км, расстояние от места встречи до B равно:

\(120 - 2,4\cdot40 = 120 - 96 =\)

\(=24 \text{ (км)}\).