Упражнение 669 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\displaystyle\Bigl(\frac{1}{3}a^5y^3\Bigr)^2\cdot(-ay)^3=\)
\( = \frac{1}{9}a^{10}y^6\cdot( -a^3y^3)=  -\frac{1}{9}a^{13}y^9. \)

б) \(\displaystyle -0{,}1a^4b^7\cdot\bigl(-30a^2b\bigr)^2=\) 

\(=\displaystyle -0{,}1a^4b^7\cdot900a^4b^2= -90a^8b^9. \)

Пояснения:

• При возведении в степень числовые коэффициенты возводятся в эту же степень, а показатели при переменных умножаются на степень.

• Степень произведения равна произведению степеней: \((ab)^n=a^nb^n\).

• При умножении одночленов складываются показатели при одинаковых переменных, а коэффициенты перемножаются.

а) \(4c^4 - 6x^2c^2 + 8c =\)

\(=2c\bigl(2c^3 - 3x^2c + 4\bigr)\).

б) \(10a^2x - 15a^3 - 20a^4x =\)

\(=5a^2\bigl(2x - 3a - 4a^2x\bigr)\).

в) \(3ax - 6ax^2 - 9a^2x =\)

\(=3ax\bigl(1 - 2x - 3a\bigr)\).

г) \(8a^4b^3 - 12a^2b^4 + 16a^3b^2 =\)

\(=4a^2b^2\bigl(2a^2b - 3b^2 + 4a\bigr)\).

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) Распределительный закон:
\[a(b +c+d) =ab+ac+ad\]

2) Обратный распределительный закон (вынос общего множителя):
\[ab+ac+ad =a(b +c+d)\]

3) Вынос наименьшей степени при работе со степенями:
\[a^p + a^q + a^r = a^{\min(p,q,r)}\bigl(a^{p-\min(p,q,r)} + a^{q-\min(p,q,r)} + a^{r-\min(p,q,r)}\bigr)\]

Подзадача а): в каждом слагаемом присутствует множитель \(2c\) (наибольший общий делитель чисел 4, −6, 8 и минимальная степень \(c^1\)). После выноса остаётся \(2c^3 - 3x^2c + 4\).

Подзадача б): общий множитель — \(5a^2\) (наибольший общий делитель чисел 10, −15, −20 и минимальная степень \(a^2\)), внутри скобки \(2x - 3a - 4a^2x\).

Подзадача в): общий множитель — \(3ax\) (числовой коэффициент 3 и минимальные степени \(a^1, x^1\)), внутри \(1 - 2x - 3a\).

Подзадача г): общий множитель — \(4a^2b^2\) (числовой коэффициент 4 и минимальные степени \(a^2, b^2\)), внутри \(2a^2b - 3b^2 + 4a\).