Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№657 учебника 2023-2025 (стр. 141):
Старинная задача. Трое выиграли некоторую сумму денег. На долю первого пришлась \(\frac14\) этой суммы, на долю второго - \(\frac17\), а на долю третьего - 17 флоринов. Как велик весь выигрыш?
№657 учебника 2013-2022 (стр. 142):
Разложите на множители:
а) \(7ax + 7bx\);
б) \(3by - 6b\);
в) \(-5mn + 5n\);
г) \(3a + 9ab\);
д) \(5y^2 - 15y\);
е) \(3x + 6x^2\);
ж) \(a^2 - ab\);
з) \(8mn - 4m^2\);
и) \(-6ab + 9b^2\);
к) \(x^2y - xy^2\);
л) \(ab - a^2b\);
м) \(-p^2q^2 - pq\).
№657 учебника 2023-2025 (стр. 141):
№657 учебника 2013-2022 (стр. 142):
Вспомните:
№657 учебника 2023-2025 (стр. 141):
Пусть \(x\) флоринов - весь выигрыш.
Тогда \(\frac{1}{4}x\) флоринов - пришлось на долю первого;
\(\frac{1}{7}x\) флоринов - пришлось на долю второго.
\(\frac{1}{4}x + \frac{1}{7}x + 17 = x;\) \(|\times28\)
| × | 1 | 7 | |
| 2 | 8 | ||
| + | 1 | 3 | 6 |
| 3 | 4 | ||
| 4 | 7 | 6 |
\(7x + 4x + 476 =28 x;\)
\(7x + 4x- 28x= -476;\)
\(- 17x= -476;\)
\(x = \frac{476}{17};\)
| - | 4 | 7 | 6 | 1 | 7 | |||||||||
| 3 | 4 | 2 | 8 | |||||||||||
| - | 1 | 3 | 6 | |||||||||||
| 1 | 3 | 6 | ||||||||||||
| 0 |
\(x = 28\) (флоринов) - весь выигрыш.
Ответ: выигрыш равен 28 флоринов.
Пояснения:
Решим данную задачу с помощью уравнения. Примем за переменную \(x\) флоринов величину всего выигрыша. Нам известно, что, чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь. По условию на долю первого пришлось \(\frac14\) этой суммы, оо есть \(\frac{1}{4}x\) флоринов - пришлось на долю первого. На долю второго пришлось \(\frac17\), то есть \(\frac{1}{7}x\) флоринов. При этом на долю третьего пришлось 17 флоринов, то есть всего троим досталось \(\frac{1}{4}x + \frac{1}{7}x + 17\). С другой стороны, выше мы приняли весь выигрыш за \(x\) флоринов. Поэтому мы можем записать следующее уравнение:
\(\frac{1}{4}x + \frac{1}{7}x + 17 = x;\).
Решив данное уравнение, получаем, что весь выигрыш составил \(x = 28\) флоринов.
Получили \(x=28\). Проверка:
\(\frac14\cdot28=7\),
\(\frac17\cdot28=4\), \(7+4+17=28\).
При решении уравнения сначала умножаем обе его части на наименьшее общее кратное знаменателей, чтобы «сократить» дроби и перейти к линейному уравнению без дробей. Слагаемые, содержащие переменную, переносим влево, остальные - вправо, если есть подобные - приводим. Данные шаги позволяют получить линейное уравнение вида \(a\,x = b\), корень которого: \(x = \frac{b}{a}\).
№657 учебника 2013-2022 (стр. 142):
а) \(7ax + 7bx = 7x(a + b)\).
б) \(3by - 6b = 3b(y - 2)\).
в) \(-5mn + 5n = 5n(-m + 1)\).
г) \(3a + 9ab = 3a(1 + 3b)\).
д) \(5y^2 - 15y = 5y(y - 3)\).
е) \(3x + 6x^2 = 3x(1 + 2x)\).
ж) \(a^2 - ab = a(a - b)\).
з) \(8mn - 4m^2 = 4m(2n - m)\).
и) \(-6ab + 9b^2 = -3b(2a - 3b)\).
к) \(x^2y - xy^2 = xy(x - y)\).
л) \(ab - a^2b = ab(1 - a)\).
м) \(-p^2q^2 - pq = -pq(pq + 1)\).
Пояснения:
Использованные правила и формулы:
1) Распределительный закон:
\[a(b +c) =ab+ac\]
2) Обратный распределительный закон (вынос общего множителя):
\[ab+ac =a(b +c)\]
3) Свойство множителя −1:
\[-k·x = -kx\] и \[-1·(x + y) = -(x + y)\]
Подзадача а): общий множитель \(7x\) из выражения \(7ax + 7bx\) даёт \(7x(a + b)\).
Подзадача б): общий множитель \(3b\) в \(3by - 6b\) даёт \(3b(y - 2)\).
Подзадача в): общий множитель \(5n\) в \(-5mn + 5n\) даёт \(5n(-m + 1)\).
Подзадача г): общий множитель \(3a\) в \(3a + 9ab\) даёт \(3a(1 + 3b)\).
Подзадача д): общий множитель \(5y\) в \(5y^2 - 15y\) даёт \(5y(y - 3)\).
Подзадача е): общий множитель \(3x\) в \(3x + 6x^2\) даёт \(3x(1 + 2x)\).
Подзадача ж): общий множитель \(a\) в \(a^2 - ab\) даёт \(a(a - b)\).
Подзадача з): общий множитель \(4m\) в \(8mn - 4m^2\) даёт \(4m(2n - m)\).
Подзадача и): общий множитель \(3b\) в \(-6ab + 9b^2\) даёт \(3b(-2a + 3b)\).
Подзадача к): общий множитель \(xy\) в \(x^2y - xy^2\) даёт \(xy(x - y)\).
Подзадача л): общий множитель \(ab\) в \(ab - a^2b\) даёт \(ab(1 - a)\).
Подзадача м): общий множитель \(-pq\) в \(-p^2q^2 - pq\) даёт \(-pq(pq + 1)\).
Вернуться к содержанию учебника