Задание 496 - ГДЗ Геометрия 7-9 класс. Атанасян. Учебник

а) Дано: отрезки МЕ и КN, О.

   Построить: параллелограмм АВСD так, что АB = МЕ и ВС = KN, В = О.

   Построение:

Доказательство:

1. По построению ВС = МЕ и АD = МЕ, ВС = АD.

2. По построению АВ = КN и СD = КN, АВ = СD.

3. ВС = АD, АВ = СD, АВСD - параллелограмм (по признаку параллелограмма) такой, что АB = МЕ и ВС = KN, В = О (по построению).

б) Дано: отрезки МЕ и КN, О.

   Построить: параллелограмм АВСD так, что АС = KN и ВD = ME, АС ВD = R, СRВ = О.

   Построение:

Доказательство:

АС и ВD - диагонали АВСD, AR = RC, т.к. по построению R - середина АС, DR = RВ - радиусы окружности с центром в точке R, АВСD - параллелограмм. При этом АС = KN и ВD = ME, АС ВD = R, СRВ = О, АВСD - искомый параллелограмм.

в) решение данного пункта приведено в учебнике на страницах 106-107.

Пояснения:

а) Строим два отрезка КN и МЕ, а также угол О.

Строим прямую и отмечаем на ней точку А.

С помощью циркуля измеряем отрезок МЕ и строим окружность с центром в точке А радиуса МЕ (всю окружность строить необязательно, смотри выделенное красным цветом), точку пересечения данной окружности с прямой обозначаем буквой В.

Далее строим угол В, равный углу О. Для этого строим окружность произвольного радиуса с центром в вершине угла О (всю окружность строить необязательно, смотри выделенное синим цветом). Точки пересечения данной окружности со сторонами угла О обозначаем буквами P и H.

Затем, строим окружность радиуса ОР с центром в точке В (всю окружность строить необязательно, смотри выделенное синим цветом),точку пересечения данной окружности с прямой обозначаем буквой F. Измеряем с помощью циркуля расстояние РН и строим окружность радиуса РН с центром в точке F (всю окружность строить необязательно, смотри выделенное зеленым цветом). Точку пересечения окружностей с центрами в точках В и F обозначаем буквой С. Проводим прямую ВС.

Теперь строим две окружности с центрами в точках А и С радиусами КN и МЕ соответственно (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное фиолетовым и коричневым цветом). Точку пересечения данных окружностей обозначаем буквой D. Соединяем точки А и D, С и D, получаем четырехугольник АВСD.

Докажем, что четырехугольник АВСD - искомый параллелограмм.

По построению ВС = МЕ и АD = МЕ, значит, ВС = АD.

По построению АВ = КN и СD = КN, значит, АВ = СD.

Итак, ВС = АD, АВ = СD, следовательно, четырехугольник АВСD - параллелограмм по признаку параллелограмма, который говорит о том, что если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм. При это по построению АB = МЕ и ВС = KN, В = О, следовательно, параллелограмм АВСD - искомый.

б) Строим два отрезка КN и МЕ, а также угол О.

Строим прямую и отмечаем на ней точку А.

С помощью циркуля измеряем отрезок KN и строим окружность с центром в точке А радиуса KN (всю окружность строить необязательно, смотри выделенное красным цветом), точку пересечения данной окружности с прямой обозначаем буквой С.

Затем находим середину отрезка АС. Для этого строим окружности радиуса АС с центрами в точках А и С (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное фиолетовым и коричневым цветом). Точки пересечения данных окружностей обозначаем буквами G и S. Проводим прямую через точки G и S, точку пересечения прямой GS с прямой обозначаем буквой R.

Теперь построим угол СRT, равный углу О. Для этого строим окружность произвольного радиуса с центром в вершине угла О (всю окружность строить необязательно, смотри выделенное синим цветом). Точки пересечения данной окружности со сторонами угла О обозначаем буквами P и H.

Затем, строим окружность радиуса ОР с центром в точке R (всю окружность строить необязательно, смотри выделенное синим цветом), точку пересечения данной окружности с прямой обозначаем буквой F. Измеряем с помощью циркуля расстояние РН и строим окружность радиуса РН с центром в точке F (всю окружность строить необязательно, смотри выделенное зеленым цветом). Точку пересечения окружностей с центрами в точках В и F обозначаем буквой T. Проводим прямую RT.

Затем находим середину отрезка ME. Для этого строим окружности радиуса ME с центрами в точках M и E (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное фиолетовым и коричневым цветом). Точки пересечения данных окружностей обозначаем буквами Y и X. Проводим прямую через точки Y и X, точку пересечения прямой YX с отрезком МЕ обозначаем буквой Z.

С помощью циркуля измеряем отрезок ZE и строим окружность с центром в точке R радиуса ZE (всю окружность строить необязательно, смотри выделенное красным цветом). Точки пересечения данной окружности с прямой RT обозначаем буквами В и D.

Соединяем точки А и В, В и С, С и D, А и D, получаем четырехугольник АВСD.

Докажем, что четырехугольник АВСD - искомый параллелограмм.

АС и ВD - диагонали, т.к. соединяют противоположные вершины четырехугольника АВСD, AR = RC, т.к. по построению R - середина АС, DR = RВ - радиусы окружности с центром в точке R, следовательно, по признаку параллелограмма, который говорит о том, что если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм, получим, что АВСD - параллелограмм. При этом АС = KN и ВD = ME, АС ВD = R, СRВ = О, значит, АВСD - искомый параллелограмм.