Задание 410 - ГДЗ Геометрия 7-9 класс. Атанасян. Учебник

Дано: прямые , b, p.

Построить: а) прямую b₁, симметричную прямой b относительно прямой p;

б) пользуясь прямой b₁, постройте отрезок так, чтобы его концы лежали соответственно на прямых  и b и чтобы прямая p была осью симметрии отрезка.

Решение:

а) b и b₁ симметричны относительно р.

б) отрезок FF₁ симметричен относительно оси симметрии р и F , F₁ b.

Пояснения:

Нам даны три прямые , b, p. Чертим их.

Две фигуры называются симметричными относительно прямой, если каждая точка одной фигуры симметрична некоторой точке другой фигуры, и обратно. Данная прямая называется осью симметрии этих фигур. Две точки А и А₁ называются симметричными относительно прямой  , если эта прямая проходит через середину отрезка АА₁ и перпендикулярна к нему. Прямая называется осью симметрии точек A и A₁. Каждая точка оси симметрична самой себе.

а) Прямая однозначно задается двумя точками, поэтому, чтобы построить прямую b₁, симметричную прямой b относительно р, нужно двум точкам лежащим на прямой b построить две симметричные точки относительно прямой р, через которые и пройдет прямая b₁.

Точка пересечения прямых р и b, обозначим ее буквой K, относительно прямой р будет симметрична сама себе. Отметим точку М на прямой b и построим точку М₁, симметричную ей относительно р. Для этого строим с помощью циркуля окружность с центром М так, чтобы она пересекла прямую р в двух точках, обозначим их Р и Е (полностью окружность строить необязательно, смотри выделенное красным цветом). Далее строим две окружности с центрами в точках Р и Е так, чтобы каждая из них проходила через точку М (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное синим и зеленым цветом). Эти окружности пересекутся в двух точках, одна из них точка М, а друга точка М₁, которая и будет симметрична точке М относительно р. Через точки К и М₁ проводим прямую b₁, симметричную прямой b относительно р.

б) Чтобы построить отрезок, у которого концы лежат соответственно на прямых и b и чтобы прямая p была осью симметрии этого отрезка, продлим прямые и b₁ до их пересечения. Обозначим точку пересечения прямых и b₁ буквой F. Точка F лежит на прямой , при этом она симметрична какой-то из точек, лежащей на прямой b относительно р, так как по построению прямые b и b₁ симметричны относительно прямой р. Построим эту точку.

Сначала строим с помощью циркуля окружность с центром F так, чтобы она пересекла прямую р в двух точках, обозначим их D и C (полностью окружность строить необязательно, смотри выделенное коричневым цветом). Далее строим две окружности с центрами в точках D и C так, чтобы каждая из них проходила через точку F (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное фиолетовым и желтым цветом). Эти окружности пересекутся в двух точках, одна из них точка F, а другая - точка F₁, которая и будет симметрична точке F относительно р. Соединяем точки F и F₁ и получаем отрезок FF₁, у которого концы лежат соответственно на прямых  и b и  прямая p ось симметрии отрезка FF₁.