Упражнение 896 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\((0;0)\) - центр окружности,

\((30; 40)\) - точка на окружности.

\(x^2 + y^2 = r^2\)

\( r^2=30^2+40^2\)

\( r^2=900+1600\)

\( r^2=2500 \)

\(r= \pm\sqrt{2500}\)

\(r =\pm50\)

\(r = -50 < 0\) - не удовлетворяет условию.

\[ r=50 \]

Уравнение окружности:

\[ x^2+y^2=2500 \]

а) Внутренняя область:

\[ x^2+y^2<2500 \]

б) Внешняя область:

\[ x^2+y^2>2500 \]

Пояснения:

Окружность имеет центр в начале координат, значит её уравнение имеет вид

\[ x^2+y^2=r^2, \]

где \(r\) — радиус окружности.

Чтобы найти радиус, используем координаты точки \((30;40)\), через которую проходит окружность:

\[ R^2=30^2+40^2=2500. \]

Значит, \( R=50. \)

Поэтому сама окружность задаётся уравнением

\[ x^2+y^2=2500. \]

Теперь разберём области.

Если точка лежит внутри окружности, то

\[ x^2+y^2<2500. \]

Если точка лежит вне окружности, то

\[ x^2+y^2>2500. \]

Так как в задаче сказано, что рассматриваются точки, не принадлежащие самой окружности, используются строгие неравенства \(<\) и \(>\), а не \( \leq \) и \( \geq \).

а) \( C_{12}^4 =\frac{12!}{4!(12-4)!}=\frac{12!}{4!\cdot8!}=\)

\(=\frac{\cancel{12}\cdot11\cdot\cancel{10}  ^{\color{blue}{5}} \cdot9\cdot\cancel{8!}}{\cancel4\cdot\cancel3\cdot\cancel2\cdot1\cdot\cancel{8!}}=\)

\(=11 \cdot5 \cdot9 = 495\)

Ответ: \(495\) способов.

б) \( A_{12}^4 = \frac{12!}{(12-4)!} = \frac{12!}{8!} =\)

\(=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot\cancel{8!}}{\cancel{8!}}= \)

\(=12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 = 11880 \)

Ответ: \(11880\) способов.

Пояснения:

В задаче используются два разных случая: выбор без учёта порядка и выбор с учётом порядка.

а) Сочетания

Порядок спортсменов не важен — важно только, кто выбран.

Используется формула сочетаний:

\[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

б) Размещения

Здесь порядок важен (кто на каком этапе плывёт).

Используется формула размещений:

\[ A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \]

Факториал:

\(n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot ... \cdot2\cdot1\).