Упражнение 885 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\[ x=n^3+n^2 \]

\(n\) - натуральное число.

\[ x=n^2(n+1) \]

\(5 \le n \le 9\), так как \(x\) - трехзначное число.

\[ 100 \le n^2(n+1) \le 999 \]

Если \( n=5\) , то

\(5^2\cdot (5 + 1) = 25\cdot 6=150 \) - кратно 5.

Если \( n=6\), то

\(6^2\cdot (6+1)=36\cdot 7=252 \) - не кратно 5.

Если \( n=7\), то

\(7^2\cdot (7 + 1)=49\cdot 8=392 \) - не кратно 5.

Если \( n=8\), то

\(8^2\cdot (8 + 1) =64\cdot 9=576 \) - не кратно 5.

Если \( n=9\), то

\(9^2\cdot (9 + 1) =81\cdot 10=810 \) - кратно 5.

Ответ: \(150\) и \(810\).

Пояснения:

По условию число \(x\) представляется как сумма куба и квадрата одного и того же числа:

\[ x=n^3+n^2. \]

Вынесем общий множитель \(n^2\):

\[ x=n^2(n+1). \]

Теперь нужно найти такие натуральные \(n\), при которых:

\[ 100 \le n^2(n+1) \le 999, \]

так как число трёхзначное.

Перебираем значения \(n\). При малых \(n\) число меньше 100, при больших — больше 999. Подходящие значения находятся перебором.

Далее учитываем условие делимости на \(5\). Число делится на \(5\), если оно оканчивается на \(0\) или \(5\), то есть произведение \(n^2(n+1)\) должно делиться на \(5\).

а) \(\small \sqrt{19-6\sqrt{10}}=\sqrt{10}-3\) 

\(\small \biggl(\sqrt{19-6\sqrt{10}}\biggr)^2=(\sqrt{10}-3)^2\)

\(\small 19-6\sqrt{10}=10-6\sqrt{10}+9\)

\(\small 19-6\sqrt{10}=19-6\sqrt{10}\) - верно.

б) \(\small \sqrt{23-8\sqrt{7}}=4-\sqrt{7}\)

\(\small \biggl(\sqrt{23-8\sqrt{7}}\biggr)^2=(4-\sqrt{7})^2\)

\(\small {23-8\sqrt{7}}=16-8\sqrt{7}+7\)

\(\small {23-8\sqrt{7}}=23-8\sqrt{7}\) - верно.

Пояснения:

Так как обе части равенства положительны, то для доказательства того, что равенства верны, используем метод возведения обоих частей в квадрат.

При этом используем:

1) Формула квадрата разности:

\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2.\)

2) Для любого неотрицательного числа \(a\) справедливо, что: \(\sqrt a \geq0\) и \(\bigl(\sqrt a \bigr)^2=a.\)