Упражнение 884 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть \(n\) - искомое число.

\[ 21=3\cdot 7 \]

\[ 21 \cdot n = k^2 \]

\[ n=\frac{k^2}{21} \]

\[ k^2 \text{ делится на } 3 \text{ и } 7 \Rightarrow k \text{ делится на } 3 \text{ и } 7 \]

\[ k=21m \]

\[ k^2=(21m)^2=441m^2 \]

\[ n=\frac{441m^2}{21}=21m^2 \]

\[ 1000 \le 21m^2 \]

\[ m^2 \ge \frac{1000}{21}\approx 47{,}6 \]

\[ m^2=49,\quad m=7 \]

\[ n=21\cdot 49=1029 \]

Ответ: \(1029\).

Пояснения:

Пусть искомое число равно \(n\). По условию после умножения на \(21\) получается квадрат натурального числа:

\[ 21n=k^2. \]

Разложим число \(21\) на простые множители:

\[ 21=3\cdot 7. \]

Чтобы произведение \(21n\) было полным квадратом, степени всех простых множителей в разложении должны быть чётными. Это возможно только тогда, когда \(k^2\) делится на \(3\) и на \(7\), а значит и само число \(k\) делится на \(3\) и \(7\).

Следовательно, \(k\) кратно \(21\), то есть

\[ k=21m. \]

Подставим в выражение:

\[ k^2=(21m)^2=441m^2. \]

Тогда

\[ n=\frac{k^2}{21}=\frac{441m^2}{21}=21m^2. \]

Теперь нужно найти наименьшее четырёхзначное значение \(n\), то есть:

\[ n \ge 1000. \]

Подставим:

\[ 21m^2 \ge 1000. \]

Разделим:

\[ m^2 \ge \frac{1000}{21}\approx 47{,}6. \]

Наименьший квадрат, не меньший этого числа:

\[ 49=7^2. \]

Тогда

\[ n=21\cdot 49=1029. \]

Проверка:

\[ 21 \cdot 1029 = 21609 = 147^2. \]

Итак, наименьшее четырёхзначное число:

\[ 1029. \]

а) \(\small \dfrac{\sqrt{\sqrt{18}-3}\cdot\sqrt{\sqrt{18}+3}}{\sqrt{6}}=\sqrt{1{,}5};\)

\(\small \dfrac{\sqrt{\sqrt{18}-3}\cdot\sqrt{\sqrt{18}+3}}{\sqrt{6}}=\)

\(=\small \dfrac{\sqrt{(\sqrt{18}-3)(\sqrt{18}+3)}}{\sqrt{6}}=\)

\(=\small \dfrac{\sqrt{(\sqrt{18})^2-3^2}}{\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{18-9}}{\sqrt{6}}=\)

\(=\small \dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{9}{6}}=\sqrt{1,5.}\)

\(\sqrt{1{,}5}=\sqrt{1{,}5}\) - верно. 

б) \(\small \dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{7+\sqrt{24}}\cdot\sqrt{7-\sqrt{24}}}=\sqrt{0{,}4}.\)

\(=\small \dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{7+\sqrt{24}}\cdot\sqrt{7-\sqrt{24}}}=\)

\(=\small \dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{(7+\sqrt{24})(7-\sqrt{24})}}=\)

\(=\small \dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{49-(\sqrt{24})^2}}=\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{49-24}}=\)

\(\small =\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{25}}=\sqrt{\frac{10}{25}}=\sqrt{0{,}4}.\)

\(\sqrt{0{,}4}=\sqrt{0{,}4}\) - верно.

Пояснения:

Чтобы доказать равенства преобразуем левую часть равенства, для этого используем:

1) Для любых действительных чисел \(a\) и \(b\) таких, что \(a\geq0\)  и \(b\geq0\), выполняется равенство \(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}.\) 

2) Формула разности квадратов:

\[(a-b)(a+b)=a^2-b^2.\]

3) Для любых действительных чисел \(a\) и \(b\) таких, что \(a\geq0\)  и \(b>0\), выполняется равенство \(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt{b}}.\)