Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№579 учебника 2023-2026 (стр. 165):
Найдите сумму первых пятнадцати членов арифметической прогрессии \((b_n)\), если \(b_1=4{,}2\) и \(b_{10}=15{,}9\).
№579 учебника 2014-2022 (стр. 151):
Найдите десятый и \(n\)-й члены арифметической прогрессии:
а) \(\dfrac{1}{3};\ -1;\ \ldots\);
б) \(2{,}3;\ 1;\ \ldots\).
№579 учебника 2023-2026 (стр. 165):
Вспомните:
№579 учебника 2014-2022 (стр. 151):
Вспомните:
№579 учебника 2023-2026 (стр. 165):
\((b_n)\) - арифметическая прогрессия.
\(b_1=4{,}2\) и \(b_{10}=15{,}9\).
\(b_n=b_1+(n-1)d\)
\(b_{10}=b_1+9d\)
\(15{,}9=4{,}2+9d\)
\(9d = 15,9 - 4,2\)
\(9d=11{,}7\)
\(d = \frac{11,7}{9}\)
\(d=1{,}3\)
\(S_n=\dfrac{2b_1+d(n-1)}{2}\,n\)
\(S_{15}=\dfrac{2\cdot4,2+1,3\cdot(15-1)}{2}\cdot15=\)
\(=\dfrac{8,4+1,3\cdot14}{2}\cdot15=\)
\(=\dfrac{8,4+18,2}{2}\cdot15=\dfrac{26,6}{2}\cdot15=\)
\(=13,3\cdot15 = 199,5\).
Пояснения:
Так как известны первый и десятый члены арифметической прогрессии, сначала находится разность \(d\) по формуле \(b_{10}=b_1+9d\).
После сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии может быть найдена по формуле:
\(S_n=\dfrac{2b_1+d(n-1)}{2}\,n\).
Подстановка в эту формулу значений \(n = 15\), \(b_1=4{,}2\), \(d = 1,3\), даёт искомую сумму: \(S_{15}=199{,}5\).
№579 учебника 2014-2022 (стр. 151):
а) \(\dfrac{1}{3};\, -1;\, \ldots\)
\(a_1=\dfrac{1}{3}\), \(a_2=-1\).
\(d=a_2-a_1=-1-\dfrac{1}{3}=-1\dfrac{1}{3}=\)
\(=-\dfrac{4}{3} \).
\(a_{10}=a_1 + 9d=\dfrac{1}{3} + 9\cdot\left(-\dfrac{4}{3}\right)=\)
\(=\dfrac{1}{3} - ^{\color{blue}{3}} \cancel9\cdot\dfrac{4}{\cancel3}=\dfrac13 - 12 = -11\dfrac23.\)
\(a_n=a_1+(n-1)d=\)
\(=\dfrac{1}{3}+(n-1)\cdot\left(-\dfrac{4}{3}\right)=\)
\(=\dfrac{1}{3}-\dfrac{4(n-1)}{3}=\)
\(=\dfrac{1-4(n-1)}{3}=\dfrac{1-4n+4}{3}=\)
\(=\dfrac{5-4n}{3}\).
б) \(2{,}3;\, 1;\, \ldots\)
\(a_1=2{,}3\), \(a_2=1\)
\(d=1-2{,}3=-1{,}3\).
\(a_{10}=a_1 + 9d=\)
\(=3{,}6-1{,}3\cdot10=3{,}6-13=-9{,}4\).
\(a_n=a_1+(n-1)d=\)
\(=2{,}3+(n-1)\cdot(-1{,}3)\)
\(a_n=2{,}3-1{,}3(n-1)=\)
\(=2,3 - 1,3n + 1,3=3{,}6-1{,}3n\).
Пояснения:
Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число \(d\), называемое разностью.
Если известны два первых члена, разность находится как разность второго и первого члена:
\[d=a_2-a_1.\]
После этого используется формула \(n\)-го члена:
\[a_n=a_1+(n-1)d.\]
Подставляя значение \(n=23\), можно найти двадцать третий член прогрессии, а оставляя \(n\) произвольным — получить общий вид \(n\)-го члена.
Вернуться к содержанию учебника