Упражнение 504 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2},\quad x\ge0,\;x\ne2. \)

\(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2} =\)

\(=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})}{(x-2)(\sqrt{x}+\sqrt{2})} =\)

\(=\frac{(\sqrt{x})^2-(\sqrt{2})^2}{(x-2)(\sqrt{x}+\sqrt{2})} =\)

\(=\frac{\cancel{x-2}}{\cancel{(x-2)}(\sqrt{x}+\sqrt{2})} =\)

\(=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}. \)

Наибольшее значение дробь принимает при \(x=0\).

Ответ: \(x=0\).

Пояснения:

1. Область определения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным и знаменатель должен быть отличен от нуля, то есть  \(x\ge0\), \(x\ne2\)

2. Умножили числитель и знаменатель на \(\sqrt{x}+\sqrt2\), чтобы избавиться от иррациональности в числителе.

Свойство корня:

\((\sqrt{x})^2 = x\).

3. Сократили одинаковый множитель в числителе и знаменателе полученной дроби:

\(\frac{ka}{kb} = \frac{a}{b}\).

4. После упрощения получили дробь \(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2}},\) которая принимает наибольшее значение при наименьшем знаменателе, а знаменатель будет наименьшим при \(x = 0\).

а) \( \frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}} =\frac{(1+\sqrt{a})\cdot\sqrt{a}}{\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}} =\)

\(=\frac{\sqrt{a}+a}{a}. \)

б) \( \frac{y + b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}}=\frac{(y + b\sqrt{y})\sqrt{y}}{b\sqrt{y}\,\sqrt{y}} =\)

\(=\frac{y\sqrt{y} + b y}{b y} = \frac{\cancel y(\sqrt{y} + b)}{b \cancel y}=\)

\(=\frac{(\sqrt{y} + b)}{b}.\)

в) \( \frac{x-\sqrt{a x}}{a\sqrt{x}} =\frac{(x-\sqrt{ax})\cdot\sqrt{x}}{a\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}} =\)

\(=\frac{x\sqrt{x}-x\sqrt{a}}{ax} =\frac{\cancel x(\sqrt{x}-\sqrt{a})}{a\cancel x} =\)

\(=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{a}. \)

г) \( \frac{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}} =\)

\(=\frac{(a\sqrt{b} + b\sqrt{a})\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}\cdot\sqrt{ab}} =\)

\(=\frac{a\sqrt{b}\,\sqrt{ab} + b\sqrt{a}\,\sqrt{ab}}{ab}= \)

\(=\frac{ab\sqrt{a} + ab\sqrt{b}}{ab}= \)

\(=\frac{\cancel{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\cancel{ab}}= \sqrt{a} + \sqrt{b}.\)

д) \( \frac{2\sqrt{3}-3}{5\sqrt{3}} =\frac{(2\sqrt{3}-3)\cdot\sqrt{3}}{5\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} =\)

\(=\frac{2\cdot3-3\sqrt{3}}{5\cdot3} =\frac{6-3\sqrt{3}}{15} =\)

\(=\frac{\cancel3(2-\sqrt{3})}{\cancel{15}_5} =\frac{2-\sqrt{3}}{5}. \)

е) \( \frac{2 - 3\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=\frac{(2 - 3\sqrt{2})\sqrt{2}}{4\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} =\)

\(=\frac{2\sqrt{2} - 3\cdot2}{4\cdot2} =\frac{2\sqrt{2} - 6}{8} =\)

\(=\frac{\cancel2(\sqrt{2} - 3)}{\cancel8_4}=\frac{\sqrt{2} - 3}{4}. \)

Пояснения:

Использованные приёмы и правила:

- Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножают числитель и знаменатель на подходящий корень, тем самым в знаменателе получается произведение корня на себя, равное подкоренному выражению.

- Свойства корня:

\(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = x\);

\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}\).

- Вынесение общего множителя за скобки:

\(ac+bc = c(a+b)\).

- Сокращение дробей:

\(\frac{ka}{kb} = \frac{a}{b}\).