Упражнение 502 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}} =\)

\(=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{y})} =\)

\(=\frac{(\sqrt{x})^2-(\sqrt{y})^2}{x+\sqrt{xy}} =\)

\(=\frac{x - y}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}. \)

б) \( \frac{a+\sqrt{b}}{a\sqrt{b}} =\)

\(=\frac{(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})}{a\sqrt{b}(a-\sqrt{b})} =\)

\(=\frac{a^2-(\sqrt{b})^2}{a^2\sqrt{b}-ab} =\frac{a^2 - b}{a^2\sqrt{b}-ab}. \)

в) \( \frac{7-\sqrt{a}}{49 - 7\sqrt{a} + a} =\)

\(=\frac{(7-\sqrt{a})(7+\sqrt{a})}{(49 - 7\sqrt{a} + a)(7+\sqrt{a})} =\)

\(=\frac{7^2-(\sqrt{a})^2}{7^3+(\sqrt{a})^3} =\frac{49 - a}{343+a\sqrt{a}} \)

г) \( \frac{\sqrt{mn}+1}{mn + \sqrt{mn} + 1}=\)

\(=\frac{(\sqrt{mn}+1)(\sqrt{mn}-1)}{(mn + \sqrt{mn} + 1)(\sqrt{mn}-1)} =\)

\(=\frac{(\sqrt{mn})^2-1^2}{(\sqrt{mn})^3-1^3} =\)

\(=\frac{mn - 1}{mn\sqrt{mn}-1}. \)

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

1. Чтобы избавиться от иррациональности (корней) в числителе, умножают числитель и знаменатель на такое выражение, которое вместе с выражением, стоящим в числителе, образует разность квадратов:

\((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\);

\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\).

2. Сумма и разность кубов двух выражений:

\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\);

\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\).

3. Свойства корня:

\(\sqrt{ab} = \sqrt{a}{b}\);

\((\sqrt{x})^2 = x\);

\(k\sqrt{k}=(\sqrt{k})^3\).

4. Свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).

а) \( \frac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} =\)

\( =\frac{(\sqrt{x})^2\cdot\sqrt{x}-(\sqrt{y})^2\cdot\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} =\)

\(=\frac{(\sqrt{x})^3-(\sqrt{y})^3}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} =\)

\(=\frac{\cancel{(\sqrt{x}-\sqrt{y}})\bigl((\sqrt{x})^2+\sqrt{x}\,\sqrt{y}+(\sqrt{y})^2\bigr)}{\cancel{\sqrt{x}-\sqrt{y}}} =\)

\(= x + \sqrt{x\,y} + y. \)

б) \( \frac{\sqrt a+\sqrt b}{a\sqrt a+b\sqrt b} =\)

\(=\frac{\sqrt a+\sqrt b}{(\sqrt a)^2\cdot\sqrt a+(\sqrt b)^2\cdot\sqrt b} =\)

\(=\frac{\sqrt a+\sqrt b}{(\sqrt a)^3+(\sqrt b)^3} =\)

\(=\frac{\cancel{\sqrt a+\sqrt b}}{\cancel{(\sqrt a+\sqrt b)}\bigl(a - \sqrt{ab} + b\bigr)} =\)

\(=\frac{1}{a - \sqrt{ab} + b}. \)

в) \( \frac{2\sqrt{2}-x\sqrt{x}}{2+\sqrt{2x}+x} =\)

\(= \frac{(\sqrt{2})^2\cdot\sqrt{2}-(\sqrt{x})^2\cdot\sqrt{x}}{2+\sqrt{2x}+x} =\)

\( =\frac{(\sqrt{2})^3-(\sqrt{x})^3}{2+\sqrt{2x}+x} =\)

\(=\frac{(\sqrt{2}-\sqrt{x})\,((\sqrt{2})^2 + \sqrt{2}\cdot\sqrt{x} + (\sqrt{x})^2)}{2+\sqrt{2x}+x} =\)

\(=\frac{(\sqrt{2}-\sqrt{x})\,\cancel{(2 + \sqrt{2x} + x)}}{\cancel{2+\sqrt{2x}+x}} =\)

\(=\sqrt{2}-\sqrt{x}. \)

г) \( \frac{a - \sqrt{3a} + 3}{\,a\sqrt{a} + 3\sqrt{3}\,}=\)

\( =\frac{a - \sqrt{3a} + 3}{(\sqrt{a})^2\cdot\sqrt{a} + (\sqrt{3})^2\cdot\sqrt{3}\,}=\)

\( =\frac{a - \sqrt{3a} + 3}{(\sqrt{a})^3 + (\sqrt{3})^3}=\)

\( =\frac{a - \sqrt{3a} + 3}{(\sqrt{a} + \sqrt{3})((\sqrt{a})^2 -\sqrt{a}\cdot\sqrt{3}+ (\sqrt{3})^2)}=\)

\( =\frac{\cancel{a - \sqrt{3a} + 3}}{(\sqrt{a} + \sqrt{3})\cancel{(a -\sqrt{3a}+3)}}=\)

\(=\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{3}}\).

Пояснения:

Использованные формулы и приёмы:

1. Свойства корня:

\((\sqrt{x})^2 = x\);

\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}\).

2. Представление \(k\sqrt{k}=(\sqrt{k})^3\) позволяет применять формулы суммы и разности кубов:

\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\);

\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\).

3. После разложения на множители в числителе и знаменателе одинаковые множители сокращаются.

\(\frac{ma}{mb} = \frac{a}{b}\).