Упражнение 496 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{\sqrt a+\sqrt b}{a\sqrt a+b\sqrt b} =\)

\(=\frac{\sqrt a+\sqrt b}{(\sqrt a)^2\cdot\sqrt a+(\sqrt b)^2\cdot\sqrt b} =\)

\(=\frac{\sqrt a+\sqrt b}{(\sqrt a)^3+(\sqrt b)^3} =\)

\(=\frac{\cancel{\sqrt a+\sqrt b}}{\cancel{(\sqrt a+\sqrt b)}\bigl(a - \sqrt{ab} + b\bigr)} =\)

\(=\frac{1}{a - \sqrt{ab} + b}. \)

б) \( \frac{a - \sqrt{3a} + 3}{\,a\sqrt{a} + 3\sqrt{3}\,}=\)

\( =\frac{a - \sqrt{3a} + 3}{(\sqrt{a})^2\cdot\sqrt{a} + (\sqrt{3})^2\cdot\sqrt{3}\,}=\)

\( =\frac{a - \sqrt{3a} + 3}{(\sqrt{a})^3 + (\sqrt{3})^3}=\)

\( =\frac{a - \sqrt{3a} + 3}{(\sqrt{a} + \sqrt{3})((\sqrt{a})^2 -\sqrt{a}\cdot\sqrt{3}+ (\sqrt{3})^2)}=\)

\( =\frac{\cancel{a - \sqrt{3a} + 3}}{(\sqrt{a} + \sqrt{3})\cancel{(a -\sqrt{3a}+3)}}=\)

\(=\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{3}}\).

Пояснения:

Использованные формулы и приёмы:

1. Свойства корня:

\((\sqrt{x})^2 = x\);

\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}\).

2. Представление \(k\sqrt{k}=(\sqrt{k})^3\) позволяет применять формулу суммы кубов:

\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\).

3. После разложения на множители в числителе и знаменателе один и тот же множитель сокращается.

\(\frac{ma}{mb} = \frac{a}{b}\).

а) \(\sqrt{6 + 4\sqrt2} = 2 + \sqrt2\)

\(6 + 4\sqrt2 = (2 + \sqrt2)^2\)

\(6 + 4\sqrt2 = 2^2 + 2\cdot2\sqrt2 + (\sqrt2)^2\)

\(6 + 4\sqrt2 = 4 + 4\sqrt2 + 2\)

\(6 + 4\sqrt2 = 6 + 4\sqrt2\)

Что и требовалось доказать.

б) \(\sqrt{8\sqrt3 + 19} = \sqrt3 + 4\)

\(8\sqrt3 + 19 = (\sqrt3 + 4)^2\)

\(8\sqrt3 + 19 = (\sqrt3)^2 + 2\cdot\sqrt3\cdot4 + 4^2\)

\(8\sqrt3 + 19 =3 + 8\sqrt3 + 16\)

\(8\sqrt3 + 19 =8\sqrt3 + 19\)

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Использованные приемы:

- Если \(\sqrt{x} = a\), то \(x = a^2\).

- Квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

- Свойство корня:

\((\sqrt{x})^2 = x\).