Упражнение 395 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\sqrt{11^4} = \sqrt{\bigl(11^2\bigr)^2} = \bigl|11^2\bigr| = 121.\)

б) \(\sqrt{4^6} = \sqrt{\bigl(4^3\bigr)^2} = \bigl|4^3\bigr| =64.\)

в) \(\sqrt{(-3)^6} = \sqrt{\bigl((-3)^3\bigr)^2} = \)

\(=\bigl|(-3)^3\bigr| =|{-27}| = 27.\)

г) \(\sqrt{(-6)^4} = \sqrt{\bigl((-6)^2\bigr)^2} =\)

\(=\bigl|(-6)^2\bigr| =|36| = 36.\)

д) \(\sqrt{2^8\cdot3^2} =\sqrt{2^8}\cdot\sqrt{3^2}=\)

\(=\sqrt{\bigl(2^4\bigr)^2}\cdot\sqrt{3^2} =\bigl|2^4\bigr| \cdot\bigl|3\bigr| = \)

\(=16\cdot3 = 48.\)

е) \(\sqrt{3^4\cdot5^6} = \sqrt{3^4}\cdot\sqrt{5^6}= \)

\(\sqrt{\bigl(3^2\bigr)^2}\cdot\sqrt{\bigl(5^3\bigr)^2} = \bigl|3^2\bigr|\cdot\bigl|5^3\bigr| =\)

\(=9\cdot125 = 1125.\)

ж) \(\sqrt{7^2\cdot2^8} =\sqrt{7^2}\cdot\sqrt{2^8} = \)

\(=\sqrt{7^2}\cdot\sqrt{\bigl(2^4\bigr)^2} = \bigl|7\bigr|\cdot\bigl|2^4\bigr| =\)

\(=7\cdot16 = 112.\)

з) \(\sqrt{3^6\cdot5^4} =\sqrt{3^6}\cdot\sqrt{5^4} =\)

\(=\sqrt{\bigl(3^3\bigr)^2}\cdot\sqrt{\bigl(5^2\bigr)^2} = \bigl|3^3\bigr|\cdot \bigl|5^2\bigr| = \)

\(=27\cdot25 = 675.\)

и) \(\sqrt{8^4\cdot5^6} =\sqrt{8^4}\cdot\sqrt{5^6} =\)

\(=\sqrt{\bigl(8^2\bigr)^2}\cdot\sqrt{\bigl(5^3\bigr)^2} = \bigl|8^2\bigr| \cdot\bigl|5^3\bigr| =\)

\(=64\cdot125 = 8000.\)

Пояснения:

– Свойство корня из степени:

\( \sqrt{(x^n)^2} = |x^n|.\)

– Свойство корня из произведения:

\(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\).

– Свойство степени:

\((a^m)^n = a^{mn}\).

– Определение модуля:

\(|a| = a\), при \(a \ge 0\);

\(|a| = -a\), при \(a \le 0\).

а) \(\sqrt{p^2} = |p|\)

б) \(\sqrt{y^2} = |y|.\)

в) \(3\sqrt{b^2} = 3\,|b|.\)

г) \(-0{,}2\sqrt{x^2} = -0{,}2\,|x|.\)

д) \(\sqrt{25a^2} = \sqrt{\bigl(5a\bigr)^2} = |5a| = 5\,|a|.\)

Пояснения:

1) Основное свойство квадратного корня:

\[ \sqrt{x^2} = |x|, \] где \(|x|\) — модуль числа \(x\), равный \(x\), если \(x\ge0\), и \(-x\), если \(x<0\).

2) Свойство степени:

\((a^m)^n = a^{mn}\).

3) Если перед корнем стоит множитель \(k\), то

\[ k\sqrt{x^2} = k\cdot|x|. \]