Упражнение 252 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{x - \frac{yz}{y - z}}{y - \frac{xz}{x - z}} =\)

\(=\biggl(\frac{x}{1} ^{\color{red}{\backslash{y-z}}} - \frac{yz}{y - z}\biggr):\)

\(:\biggl({\frac{y}{1} ^{\color{red}{\backslash{x-z}}} - \frac{xz}{x - z}}\biggr)=\)

\(=  {\frac{x(y - z) - yz}{y - z}}:{\frac{y(x - z) - xz}{x - z}} =\)

\(=  {\frac{x(y - z) - yz}{y - z}}\cdot{\frac{x - z}{y(x - z) - xz}} =\)

\(=  {\frac{xy - xz - yz}{y - z}}\cdot{\frac{x - z}{xy - yz - xz}} =\)

\(=  {\frac{\cancel{(xy - xz - yz)}(x-z)}{(y - z)\cancel{(xy - yz - xz)}}} = \frac{x - z}{\,y - z\,}. \)

б) \(\frac{\frac{a - x}{a}^{\color{red}{\backslash{a-x}}} + \frac{x}{\,a - x\,}^{\color{red}{\backslash{a}}}}{\frac{a + x}{a}^{\color{red}{\backslash{a+x}}} - \frac{x}{\,a + x\,}^{\color{red}{\backslash{a}}}}=\frac{\frac{(a - x)^2 + ax}{a(a - x)}}{\frac{(a + x)^2 - ax}{a(a + x)}}=\)

\(={\frac{a^2 - ax + x^2}{a(a - x)}}:{\frac{a^2 + ax + x^2}{a(a + x)}}=\)

\(=\frac{a^2 - ax + x^2}{a(a - x)} \cdot \frac{a(a + x)}{a^2 + ax + x^2} =\)

\(=\frac{(a + x)(a^2 - ax + x^2)}{(a - x)(a^2 + ax + x^2)}=\frac{a^3+x^3}{a^3-x^3}\)

в)  \(\displaystyle \frac{1}{\,1 + \frac{1}{\,1 + \frac{1}{x}\,}\,}=\displaystyle \frac{1}{\,1 + \frac{1}{\,\frac{x + 1}{x}\,}\,}=\)

\(=\displaystyle \frac{1}{\,1 + \frac{x}{x + 1}\,}=\displaystyle \frac{1}{\frac{2x + 1}{x + 1}}=\frac{x + 1}{2x + 1}.\)

г) \(\displaystyle \frac{1}{\,1 - \frac{1}{\,1 + \frac{1}{x}\,}\,} = \displaystyle \frac{1}{\,1 - \frac{1}{ \frac{x + 1}{x}}\,}=\)

\(= \displaystyle \frac{1}{\,1 - \frac{x}{ x + 1}\,}= \displaystyle \frac{1}{\frac{1}{x + 1}}=x+1.\)

Пояснения:

При решении использованы следующие приёмы:

— Приведение суммы и разности дробей к общему знаменателю:

\(\displaystyle \frac{A}{D} \pm \frac{B}{D} = \frac{A\pm B}{D}.\)

— Сумма и разность кубов:

\(\ a^3 \pm b^3 = (a\pm b)(a^2 + ab + b^2)\)

— Деление на дробь равносильно умножению на обратную:

\(\displaystyle \frac{P}{Q} : \frac{R}{S} = \frac{P}{Q}\cdot\frac{S}{R}.\)

— Сокращение одинаковых множителей в дроби.

— Для каждого выражения привели суммы или разности дробей к общему знаменателю.

— В пункте а) после вычитания вынесли общий множитель и сократили одинаковый многочлен в числителе и знаменателе.

— В пункте б) отдельно упростили числитель и знаменатель левой и правой частей, затем применили правило деления дробей.

— В пунктах в) и г) последовательно раскрыли вложенные дроби, приведя их к единому знаменателю и сократив.

\( z = \frac{2}{\frac1a + \frac1b} = \frac{2ab}{a+b}. \)

\( \frac{1}{z - a} \;+\;\frac{1}{z - b} =\)

\(= \frac{1}{ \frac{2ab}{a+b} - a} + \frac{1}{\frac{2ab}{a+b} - b } =\)

\(= \frac{1}{\frac{2ab - a(a+b)}{a+b} } + \frac{1}{\frac{2ab - b(a+b)}{a+b} } =\)

\( =\frac{1}{\frac{ab - a^2}{a+b}} \;+\;\frac{1}{\frac{ab - b^2}{a+b}} =\)

\(= \frac{1}{-\dfrac{a(a - b)}{a+b}} \;+\; \frac{1}{\dfrac{b(a - b)}{a+b}} =\)

\(= -\,\frac{a+b}{a(a - b)} \;+\; \frac{a+b}{b(a - b)} =\)

\(= \frac{a+b}{a - b}\Bigl(-\frac{1}{a}^{\color{red}{\backslash{b}}} + \frac{1}{b}^{\color{red}{\backslash{a}}}\Bigr) =\)

\(=\frac{a+b}{a - b}\;\cdot\frac{-b + a}{ab} = \frac{a+b}{ab} \)

\(= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \)

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \) - верно.

Пояснения:

• Среднее гармоническое \(a_{ср.}\) для \(n\) чисел \(a_1, a_2,\dots,a_n\) определяется как

\( a_{ср.} =\frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2}+\dots+ \frac{1}{a_n}}.\)

Тогда среднее гармоническое двух чисел \(a,b\): \(\;z = \dfrac{2}{\frac1a+\frac1b} = \dfrac{2ab}{a+b}\).

• Для вычисления суммы обратных дробей приводим их к общему знаменателю, складываем числители и упрощаем.

•  Противоположные выражения:

\(\;b - a = -(a - b)\).

• Вынесение общего множителя за скобки:

\(\;\frac{(a+b)}{(a-b)}\)

• Сложение дробей с разными знаменателями:

\(-\frac1a +\frac1b = \frac{-b+a}{ab}\).

Благодаря этим преобразованиям получаем тождество.