Упражнение 214 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\frac{3x - 8}{25};\)

знаменатель \(25\neq0\) при любых \(x\).

Ответ:  \(x\) - любое число.

б) \(\frac{37}{2y + 7};\)

\(2y+7\neq0\)

\(2y\neq-7\)

\(y\neq -\frac{7}{2}.\)

Ответ:  \(y\) - любое число, кроме \(-\frac{7}{2}.\) 

в) \(\frac{9}{x^2 - 7x};\)

\(x^2-7x\neq0\)

\(x(x-7)\neq0\)

\(x\neq0\) или \(x\neq7\)

Ответ: \(x\) - любое число, кроме 0 и 7.

г) \(\frac{2y + 5}{y^2 + 8};\)

\(y^2+8>0\) при любом значении \(y\).

Ответ:  \(y\) - любое число.

д) \(\frac{12}{\lvert x\rvert - 3};\)

\(\lvert x\rvert -3\neq0\)

\(\lvert x\rvert\neq3\)\

\(x\neq3\) или \(x\neq-3.\)

Ответ: \(x\) - любое число, кроме \(3\) и \(-3\).

е) \(\frac{45}{\lvert y\rvert + 2};\)

\(\lvert y\rvert +2>0\) при любом значении \(y\).

Ответ: \(y\) - любое число.

Пояснения:

1. В любой дроби запрещены значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль.

2. Для линейного знаменателя \(ax+b\):

\(ax+b\neq0\) откуда \(x\neq-\frac{b}{a}\).

3. Для квадратного многочлена \(x^2-7x\) находим корни \(x=0\) и \(x=7\) и исключаем их.

4. Выражения вида \(y^2+8\) положительны при всех \(y\), поэтому дополнительных ограничений нет.

5. При абсолютных значениях \( \lvert x\rvert -3\neq0\) равносильно \(\lvert x\rvert\neq3\), значит \(x\neq\pm3\); а \(\lvert y\rvert+2\) всегда положительно.

а) \( \frac{(3a - 3c)^2}{9a^2 - 9c^2} = \frac{9(a - c)^{ \cancel 2^1}}{9 \cancel{(a - c)}(a + c)} =\)

\(=\frac{a - c}{a + c} \)

б)  \( \frac{(a^2 - 9)^2}{(3 - a)^3} = \frac{ \cancel {(a - 3)^2}(a + 3)^2}{-\,(a - 3)^{ \cancel3}} =\)

\(= -\,\frac{(a + 3)^2}{a - 3} \)

в) \( \frac{8y^3 - 1}{y - 4y^3} =\)

\(=\frac{ \cancel {(2y - 1)}(4y^2 + 2y + 1)}{-\,y \cancel {(2y - 1)}(2y + 1)} =\)

\(= -\,\frac{4y^2 + 2y + 1}{y(2y + 1)} \)

г) \( \frac{5a^2 - 3ab}{a^2 - 0.36b^2} =\)

\(=\frac{5a \cancel {(a - 0,6b)}}{{ \cancel {(a - 0,6b)}(a + 0,6b)}} =\)

\(= \frac{5a}{a + 0,6b} \)

Пояснения:

– Для сокращения дробей сначала раскладываем числитель и знаменатель на множители.

– Вариант а): вынесли общий множитель \(3\) в квадрате и сократили с общей 9.

– Вариант б): учли, что \((3 - a)^3 = -\,(a - 3)^3\), и сократили степень множителя \((a - 3)\).

– Вариант в): применили формулу разности кубов и разложения \(1 - 4y^2\), затем сократили общий множитель.

– Вариант г): вынесли в числителе общий множитель \(5a\), в знаменателе применили формулу разности квадратов двух выражений, сократили множитель \((a-0,6b).\)