Упражнение 166 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{1 ^{\color{blue}{\backslash{x}}} - \frac{1}{x}}{1^{\color{blue}{\backslash{x}}} + \frac{1}{x}} = \frac{x-1}{x}  : \frac{x+1}{x} =\)

\(=\frac{x-1}{\cancel{x}} \cdot \frac{\cancel{x}}{x+1} = \frac{x - 1}{x + 1}. \)

б) \( \frac{\frac{2a - b}{b} + 1 ^{\color{blue}{\backslash{b}}} }{\frac{2a + b}{b} - 1 ^{\color{blue}{\backslash{b}}} } =\)

\(=\frac{2a - b+b}{b} : \frac{2a + b-b}{b}  =\)

\(= \frac{2a}{b} : \frac{2a}{b} = 1. \)

в) \( \frac{\frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2}}{\frac{x}{y^2} - \frac{y}{x^2}} = \frac{x^3 + y^3}{x^2y^2} : \frac{x^3 - y^3}{x^2y^2} =\)

\(=\frac{x^3 + y^3}{\cancel{x^2y^2}} \cdot \frac{\cancel{x^2y^2}}{x^3 - y^3} =\frac{x^3 + y^3}{x^3 - y^3}. \)

г) \( \frac{\frac{1}{a} ^{\color{blue}{\backslash{bc}}} + \frac{1}{b} ^{\color{blue}{\backslash{ac}}} + \frac{1}{c} ^{\color{blue}{\backslash{ab}}} }{\frac{1}{ab} ^{\color{blue}{\backslash{c}}} + \frac{1}{bc} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} + \frac{1}{ac} ^{\color{blue}{\backslash{b}}} } =\)

\(=\frac{bc + ac + ab}{abc} : \frac{c + a + b}{abc} =\)

\(=\frac{bc + ac + ab}{\cancel{abc}} \cdot \frac{\cancel{abc}}{c + a + b} =\)

\(=\frac{bc + ac + ab}{c + a + b}. \)

Пояснения:

Основные используемые правила:

1) Учитываем то, что черту дроби можно заменить делением (числитель разделить на знаменатель).

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители.

3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

4) Сокращение дробей:

\(\frac{k\cdot a}{k\cdot b}=\frac{a}{b}\).

а) Если \(x=\frac{ab}{a+b}\), то

\( \frac{x - a}{x - b} = \frac{\frac{ab}{a+b} - a ^{\color{blue}{\backslash{a+b}}} }{\frac{ab}{a+b} - b ^{\color{blue}{\backslash{a+b}}} } =\)

\(=\frac{\frac{ab - a(a+b)}{a+b}}{\frac{ab - b(a+b)}{a+b}} =\)

\(=\frac{\cancel{ab} - a^2-\cancel{ab}}{a+b} : \frac{\cancel{ab} - \cancel{ab}-b^2}{a+b}=\)

\(=\frac{-a^2}{a+b} : \frac{-b^2}{a+b} = \)

\(=\frac{a^2}{\cancel{a+b}} \cdot \frac{\cancel{a+b}}{b^2} = \frac{a^2}{b^2}. \)

б) Если \(x = \displaystyle\frac{a - b}{a + b}\), то

\( \frac{\frac{a}{b} - x}{\frac{b}{a} + x}= \frac{\frac{a}{b} ^{\color{blue}{\backslash{a+b}}} - \frac{a-b}{a+b} ^{\color{blue}{\backslash{b}}} }{\frac{b}{a} ^{\color{blue}{\backslash{a+b}}} + \frac{a-b}{a+b} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} } =\)

\(=\frac{\frac{a(a+b) - b(a-b)}{b(a+b)}}{\frac{b(a+b) + a(a-b)}{a(a+b)}} =\)

\(=\frac{a^2 + \cancel{ab} - \cancel{ab} + b^2}{b(a+b)} : \frac{\cancel{ab} + b^2 + a^2 - \cancel{ab}}{a(a+b)} =\)

\(=\frac{a^2 + b^2}{b(a+b)} : \frac{a^2 + b^2}{a(a+b)} =\)

\(=\frac{ \cancel{a^2 + b^2}}{b \cancel{(a+b)}} \cdot \frac{a \cancel{(a+b)}}{ \cancel{a^2 + b^2}} = \frac{a}{b}. \)

Пояснения:

Основные используемые правила:

1) Учитываем то, что черту дроби можно заменить делением (числитель разделить на знаменатель).

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители.

3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

4) Сокращение дробей:

\(\frac{k\cdot a}{k\cdot b}=\frac{a}{b}\).

Подробные пояснения к шагам:

В пункте а) в числителе и знаменателе выражения заменили \(x\) на \(\frac{ab}{a+b}\), затем вычли \(a\) и \(b\) из дроби с общим знаменателем \(a+b\). Получив две дроби с одинаковым знаменателем, сократили \(\frac{1}{a+b}\) и убрали минусы при делении, что дало \(\frac{a^2}{b^2}\).

В пункте б) аналогично подставили \(x=\frac{a-b}{a+b}\). В числителе и знаменателе вычли/сложили дроби с разными знаменателями \(b\) и \(a+b\), привели каждую сумму к общему знаменателю, получили две дроби с одинаковым числителем \((a^2+b^2)\) и разными знаменателями, затем при делении дробей сократили \(\,(a^2+b^2)\) и \((a+b)\), в результате осталось \(\frac{a}{b}\).