Упражнение 87 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{3x}{5(x+y)} ^{\color{blue}{\backslash3}} - \frac{2y}{3(x+y)} ^{\color{blue}{\backslash5}} =\)

\(=\frac{9x - 10y}{15(x+y)} .\)

б) \( \frac{a^2}{5(a-b)} ^{\color{blue}{\backslash4}} - \frac{b^2}{4(a-b)} ^{\color{blue}{\backslash5}} =\)

\(= \frac{4a^2 - 5b^2}{20(a-b)}.\)

в) \(\frac{3}{ax - ay} + \frac{2}{by - bx}=\)

\(\frac{3}{a(x - y)} + \frac{2}{-b(x-y)}=\)

\(= \frac{3}{a(x-y)} ^{\color{blue}{\backslash{b}}} - \frac{2}{b(x-y)} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} =\)

\(=\frac{3b - 2a}{ab(x-y)}.\)

г) \( \frac{13c}{b m - b n} - \frac{12b}{c n - c m}=\)

\(= \frac{13c}{b(m-n)} - \frac{12b}{-c(m-n)} = \)

\(=\frac{13c}{b(m-n)} ^{\color{blue}{\backslash{c}}} + \frac{12b}{c(m-n)} ^{\color{blue}{\backslash{b}}} =\)

\(= \frac{13c^2 + 12b^2}{bc(m-n)}.\)

Пояснения:

1)  Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

2) Затем выполняют действия с числителями, оставляя общий знаменатель.

3) Вынесение общего множителя за скобки:

\(kx-ky=k(x-y)\);

\(kx-ky=-k(y-x)\).

4) Если числитель или знаменатель дроби заменить на противоположное выражение и при этом поменять знак перед дробью, то получится дробь, равная данной, то есть

\( \frac{A}{B} = -\frac{-A}{B} = -\frac{A}{-B}.\)

а) \(\frac{5y + 3}{2y + 2} \;-\; \frac{7y + 4}{3y + 3}=\)

\(= \frac{5y+3}{2(y+1)} ^{\color{blue}{\backslash3}} - \frac{7y+4}{3(y+1)} ^{\color{blue}{\backslash2}} =\)

\(=\frac{3(5y+3) - 2(7y+4)}{6(y+1)} =\)

\(=\frac{15y+9 - 14y - 8}{6(y+1)} =\)

\(=\frac{^1  \cancel{y + 1}}{6\cancel{(y+1)}} = \frac{1}{6}\) - не зависит от \(y\).

б) \( \frac{11y + 13}{3y - 3} \;+\; \frac{15y + 17}{4 - 4y}=\)

\( =\frac{11y+13}{3(y-1)} + \frac{15y+17}{-4(y-1)} =\)

\(=\frac{11y+13}{3(y-1)} ^{\color{blue}{\backslash4}} - \frac{15y+17}{4(y-1)} ^{\color{blue}{\backslash3}} =\)

\(=\frac{4(11y+13) - 3(15y+17)}{12(y-1)} =\)

\(=\frac{44y+52 - 45y - 51}{12(y-1)} =\)

\(=\frac{-\,y + 1}{12(y-1)} =\frac{-\,(y - 1)}{12(y-1)} =\)

\(=-\frac{^1   \cancel{y-1}}{12\cancel{(y-1)}} = -\frac{1}{12}\) - не зависит от \(y\).

Пояснения:

1)  Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

2) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены.

3) Вынесение общего множителя за скобки:

\(kx-ky=k(x-y)\);

\(kx-ky=-k(y-x)\).

4) Противоположные выражения:

\(a - b = - (b-a)\).

5) Если числитель или знаменатель дроби заменить на противоположное выражение и при этом поменять знак перед дробью, то получится дробь, равная данной, то есть

\( \frac{A}{B} = -\frac{-A}{B} = -\frac{A}{-B}.\)