Упражнение 57 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{2x - 3y}{4xy} + \frac{11y - 2x}{4xy} =\)

\(=\frac{(2x - 3y) + (11y - 2x)}{4xy} =\)

\(=\frac{\cancel{2x} - 3y + 11y - \cancel{2x}}{4xy} =\)

\(=\frac{^2\cancel{8y}}{\cancel{4}x\cancel{y}} = \frac{2}{x}. \)

б) \( \frac{5a + b^5}{8b} - \frac{5a - 7b^5}{8b} =\)

\(=\frac{(5a + b^5) - (5a - 7b^5)}{8b} =\)

\(=\frac{\cancel{5a} + b^5 - \cancel{5a} + 7b^5}{8b} = \frac{\cancel{8}b^{\cancel{5}  ^4}}{\cancel{8b}} = b^4. \)

в) \( \frac{a - 2}{8a} + \frac{2a + 5}{8a} - \frac{3 - a}{8a} =\)

\(=\frac{(a - 2) + (2a + 5) - (3 - a)}{8a} =\)

\(=\frac{a - 2 + 2a + 5 - 3 + a}{8a} =\)

\(=\frac{^1 \cancel{4a}}{_2  \cancel{8a}} = \frac12. \)

г) \( \frac{11a - 2b}{4a} + \frac{2a - 3b}{4a} - \frac{a - b}{4a} =\)

\(=\frac{(11a - 2b) + (2a - 3b) - (a - b)}{4a} =\)

\(=\frac{11a - 2b + 2a - 3b - a + b}{4a} =\)

\(=\frac{12a - 4b}{4a} = \frac{\cancel{4}(3a - b)}{\cancel{4}a} = \frac{3a - b}{a}. \)

Пояснения:

1. При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями складываются (или вычитаются) их числители, а знаменатель остаётся тем же:

\( \frac{A}{D} + \frac{B}{D} = \frac{A + B}{D},\)

\(\frac{A}{D} - \frac{B}{D} = \frac{A - B}{D}. \)

2. После получения единой дроби выполняется приведение подобных: складываются или вычитаются члены в числителе, а знаменатель остаётся прежним.

3. При необходимости дробь сокращается, если числитель и знаменатель имеют общий множитель.

а) \( \frac{16}{x-4} - \frac{x^2}{x-4} =\)

\(=\frac{16 - x^2}{x-4} = \frac{-(x^2 - 16)}{x-4} =\)

\(=-\frac{\cancel{(x-4)}(x+4)}{\cancel{x-4}} =\)

\(=-(x+4) = -x-4. \)

б) \( \frac{25}{a+5} - \frac{a^2}{a+5} = \frac{25 - a^2}{a+5} =\)

\(=\frac{-(a^2 - 25)}{a+5} = -\frac{(a-5) \cancel{(a+5)}}{ \cancel{a+5}} =\)

\(=-(a-5) = 5 - a. \)

в) \(\displaystyle \frac{3a-1}{a^2-b^2} - \frac{3b-1}{a^2-b^2}=\)

\( =\frac{3a-1 - (3b-1)}{a^2-b^2} =\)

\(=\frac{3a - 1 - 3b + 1}{(a-b)(a+b)} =\)

\(=\frac{3\cancel{(a-b)}}{\cancel{(a-b)}(a+b)} = \frac{3}{a+b}. \)

г) \(\displaystyle \frac{x-3}{x^2-64} + \frac{11}{x^2-64}=\)

\( =\frac{x-3 + 11}{x^2-64} =\)

\(=\frac{\cancel{x + 8}}{(x-8)\cancel{(x+8)}} =\frac{1}{x-8}. \)

д) \(\displaystyle \frac{2a+b}{(a-b)^2} - \frac{2b-5a}{(a-b)^2}=\)

\(= \frac{(2a+b) - (2b-5a)}{(a-b)^2} =\)

\(=\frac{2a + b - 2b +5a}{(a-b)^2} = \frac{7a - b}{(a-b)^2}. \)

е) \(\displaystyle \frac{13x+6y}{(x+y)^2} - \frac{11x+4y}{(x+y)^2}=\)

\(= \frac{(13x+6y) - (11x+4y)}{(x+y)^2} =\)

\(=\frac{13x + 6y - 11x - 4y}{(x+y)^2} =\)

\(=\frac{2x + 2y}{(x+y)^2} = \frac{2\cancel{(x+y)}}{(x+y)^{\cancel{2}}} = \frac{2}{x+y}. \)

Пояснения:

1. При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями складываются (или вычитаются) их числители, а знаменатель остаётся тем же:

\( \frac{A}{D} + \frac{B}{D} = \frac{A + B}{D},\)

\(\frac{A}{D} - \frac{B}{D} = \frac{A - B}{D}. \)

2. После получения единой дроби выполняется приведение подобных: складываются или вычитаются члены в числителе, а знаменатель остаётся прежним.

3. После этого, если числитель и (или) знаменатель раскладываются на множители, ищем общий множитель и сокращаем его.

При разложении на множители использованы следующие приемы:

- разность квадратов двух выражений:

\(a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\);

- вынесение общего множителя за скобки:

\(ax+bx=(a+b)x\);

- противоположные выражения:

\(a-b = -(b-a)\).