Упражнение 17 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 9

а) \(a > 0\) и \(b > 0\)

\(\displaystyle \frac{a}{b} > 0\)

б) \(a > 0\) и \(b < 0\)

\(\displaystyle \frac{a}{b} < 0\)

в) \(a < 0\) и \(b > 0\)

\(\displaystyle \frac{a}{b} < 0\)

г) \(a < 0\) и \(b < 0\).

\(\displaystyle \frac{a}{b} > 0\)

Пояснения:

Знак дроби определяется знаком числителя и знаменателя:

— Если числитель и знаменатель дроби одного знака (оба положительные или оба отрицательные), дробь положительна:

\[\frac{(+a)}{(+b)}>0,\quad \frac{(-a)}{(-b)}>0.\]

— Если числитель и знаменатель дроби разных знаков, дробь отрицательна:

\[\frac{(+a)}{(-b)}<0,\quad \frac{(-a)}{(+b)}<0.\]

Поэтому в случаях а) и г) дробь положительна, а в случаях б) и в) — отрицательна.

а) \(\displaystyle \frac{3}{x^2+1} > 0\)

\(3>0\),    \(x^2+1>0\), поэтому

\(\displaystyle \frac{3}{x^2+1} > 0\).

б) \(\displaystyle \frac{-5}{y^2+4} \)

\(-5<0\),     \(y^2+4>0\), поэтому

\(\displaystyle \frac{-5}{y^2+4} <0\)

в) \(\displaystyle \frac{(a-1)^2}{a^2+10}\)

\((a-1)^2\ge0\),    \(a^2+10>0\), поэтому

\(\displaystyle \frac{(a-1)^2}{a^2+10}\ge0\)

г) \(\displaystyle \frac{(b-3)^2}{-\,b^2-1}\)

\((b-3)^2\ge0\),     \(-b^2-1<0\), поэтому

\(\displaystyle \frac{(b-3)^2}{-\,b^2-1} \le 0\)

Пояснения:

1. Квадрат любого числа неотрицателен: для любого \(t\) выполнено \(t^2\ge0\). Следовательно, суммы вида \(x^2+1\), \(y^2+4\), \(a^2+10\) всегда положительны.

2. Знаменатель в случае г) равен \(-\bigl(b^2+1\bigr)\), где \(b^2+1>0\), значит \(-b^2-1<0\).

3. Числители в пунктах а) и б) — числа\(3\) и \(-5\), сохраняющие свой знак; в пунктах в) и г) — квадраты, неотрицательные.

4. Дробь положительна, если числитель и знаменатель одного знака; отрицательна — если числитель и знаменатель разных знаков; равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не ноль; неположительна, если меньше или равна нулю, неотрицательна, если больше или равна нулю.