Упражнение 1206 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( 1^3 + 2^3 + \dots + 99^3= \)

\(=(1^3 + 99^3) + (2^3 + 98^3) + ... + (49^3 + 51^3) + 50^3 =\)

\(= (1 + 99)(1^2-1\cdot99+99^2) + (2+98)(2^2-2\cdot98+98^2) + ... + (49 + 51)(49^2-49\cdot51+51^2) + (5\cdot10)^3=\)

\(= 100(1^2-1\cdot99+99^2) + 100(2^2-2\cdot98+98^2) + ... + 100(49^2-49\cdot51+51^2) + 125000=\)

\(= 100(1^2-1\cdot99+99^2 + 2^2-2\cdot98+98^2 + ... + 49^2-49\cdot51+51^2 + 1250)\) - делится на 100.

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

– Группируем пары \(k^3\) и \((100-k)^3\), которые при раскрытии формулы суммы кубов дают множитель 100. Формула суммы кубов:

\(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\).

– Число 50 при возведении в куб даёт 125 000.

– Таким образом, у каждого слагаемого можно вынести за скобки множитель 100, а это говорит о том, что исходное выражение делится на 100.

\(2x^2 + 2y^2 = \)

\(=x^2 + x^2 + y^2 + y^2 = \)

\(=x^2 + x^2 + y^2 + y^2 +2xy - 2xy= \)

\(=\bigl(x^2 + 2xy + y^2\bigr) + \bigl(x^2 - 2xy + y^2\bigr) =\)

\(=(x + y)^2 + (x - y)^2\)

Пояснения:

– Значение выражения не изменится, если к нему прибавить и вычесть одно и то же выражение.

– Квадрат суммы двух выражений:

\((x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\).

– Квадрат разности двух выражений:

\((x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\).