Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№1006 учебника 2023-2025 (стр. 197):
Представьте в виде многочлена:
а) \((a^2 - 7)(a + 2) - (2a - 1)(a - 14);\)
б) \((2 - b)(1 + 2b) + (1 + b)(b^3 - 3b).\)
№1006 учебника 2013-2022 (стр. 197):
При каком значении \(b\) многочлен стандартного вида, тождественно равный произведению
\( (x^2 - 10x + 6)(2x + b), \):
а) не содержит \(x^2\);
б) имеет равные коэффициенты при \(x^3\) и при \(x\)?
№1006 учебника 2023-2025 (стр. 197):
Вспомните:
№1006 учебника 2013-2022 (стр. 197):
№1006 учебника 2023-2025 (стр. 197):
а) \( (a^2 - 7)(a + 2) - (2a - 1)(a - 14) = \)
\(=\bigl(a^3 + 2a^2 - 7a - 14\bigr) - \bigl(2a^2 - 29a + 14\bigr) =\)
\(=a^3 + \cancel{2a^2} - 7a - 14-\cancel{2a^2} + 29a - 14 =\)
\(=a^3 + 22a - 28. \)
б) \( (2 - b)(1 + 2b) + (1 + b)(b^3 - 3b) =\)
\(=\bigl(2 + 2b - b - 2b^2\bigr) + \bigl(b^3 - 3b + b^4 - 3b^2\bigr) =\)
\(=2 + 2b - b - 2b^2 + b^3 - 3b + b^4 - 3b^2 =\)
\(=b^4 + b^3 - 5b^2 + 2. \)
Пояснения:
Основные правила и приёмы:
1. Умножение многочлена на многочлен:
\((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.\)
2. Раскрытие скобок: если перед скобками стоит знак минус, то при их раскрытии меняем знаки всех слагаемых из скобок на противоположные.
3. Приведение подобных слагаемых:
\(ax + bx = (a + b)x\).
— В пункте а) сначала раскрыли оба произведения, затем вычли второе из первого, объединив подобные члены.
— В пункте б) отдельно раскрыли два произведения, сложили результаты и привели подобные члены.
№1006 учебника 2013-2022 (стр. 197):
\( (x^2 - 10x + 6)(2x + b) =\)
\(=2x^3 + b x^2 - 20x^2 - 10bx + 12x + 6b =\)
\(=2x^3 + (b - 20)x^2 + (12 - 10b)x + 6b. \)
а) \( b - 20 = 0 \)
\(b = 20. \)
б) \( 12 - 10b = 2 \)
\(-10b = -10\)
\(b = 1. \)
Ответ: а) многочлен не содержит \(x^2\) при \(b = 20 \); б) многочлен имеет равные коэффициенты при \(x^3\) и \(x\) при \(b = 1. \)
Пояснения:
Использованные приёмы и формулы:
1) Стандартный вид многочлена: многочлен, состоящий из одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных, называют многочленом стандартного вида.
2) Умножение многочлена на многочлен:
\((a + b)(c + d) = ac + ad + dc + bd\).
3) Приведение подобных членов:
\(ax + bx = (a + b)x\).
4) Многочлен не содержит переменную \(x^2\), если коэффициент, стоящий перед этой переменной равен нулю, то есть в данном случае \( b - 20 = 0 \), откуда \(b = 20. \)
5) В полученном многочлене коэффициент перед \(x^3\) равен 2, а перед \(x\) равен (12 - 10b). По условию эти коэффициенты должны быть равны, значит,
\( 12 - 10b = 2 \), тогда
\(-10b = -10\), откуда \(b = 1. \)
Вернуться к содержанию учебника