Упражнение 996 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 196

а) \(\;\displaystyle \frac{38^2 - 17^2}{72^2 - 16^2} =\)

\(=\frac{(38 - 17)(38 + 17)}{(72 - 16)(72 + 16) }=\)

\(=\frac{^3\cancel{21} \cdot \cancel{55}^{   5}}{_{8  }\cancel{56} \cdot \cancel{88}_8} = \frac{15}{64}.\)

б) \(\;\displaystyle \frac{39,5^2 - 3,5^2}{57,5^2 - 14,5^2} = \)

\(=\frac{(39,5 - 3,5)(39,5 + 3,5)}{(57,5 - 14,5)(57,5 + 14,5)} =\)

\(=\frac{^1\cancel{36} \cdot \cancel{43}^{  1}}{_{1  }\cancel{43} \cdot \cancel{72}_2} = \frac{1}{2}.\)

в) \(\frac{17,5^2 - 9,5^2}{131,5^2 - 3,5^2} =\)

\(=\frac{(17,5 - 9,5)(17,5 + 9,5)}{(131,5 - 3,5)(131,5 + 3,5)} =\)

\(=\frac{^1\cancel{8} \cdot \cancel{27}^{  1}}{_{16  }\cancel{128} \cdot \cancel{135}_5} = \frac{1}{80}.\)

Пояснения:

Использованные приемы и формулы:

1. Формула разности квадратов:

\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). \)

2. Для каждого выражения сначала вычисляем числитель и знаменатель по формуле разности квадратов.

3. После получения произведений числителя и знаменателя сокращаем дробь:

\( (a^2 + b^2)(ab + cd) - ab\bigl(a^2 + b^2 - c^2 - d^2\bigr) = (ac + bd)(ad + bc) \)

\( \cancel{a^3b} + \cancel{ab^3} + a^2cd + b^2cd - \cancel{a^3b} - \cancel{ab^3} + abc^2 + abd^2=(ac + bd)(ad + bc) \)

\((a^2cd + abd^2) + (abc^2 + b^2cd) =(ac + bd)(ad + bc) \)

\( ad\,(ac + bd) + bc\,(ac + bd) =(ac + bd)(ad + bc) \)

\( (ac + bd)\,(ad + bc) = (ac + bd)(ad + bc) \)

Тождество доказано.

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) Умножение многочлена на многочлен:

\((a + b)(c + d) = ac + ad + dc + bd\).

2) Умножение одночлена на многочлен:

\(a(b+c) = ab + ac.\)

3) Раскрытие скобок:

\(a - (b + c) = a - b - c\).

4) Приведение подобных членов:

\(ax + bx = (a + b)x\).

5) Группировка и вынос общего множителя:

\( ay + by = (a + b)y. \)

6) Свойство степени:

\(a^m\cdot{a^n}=a^{m+n}.\)

Пояснение к шагам:

– Сначала раскрыли обе скобочные части в левой стороне по правилу умножения многочлена на многочлен.

– Затем вычли второй множитель, сократив подобные члены.

– Оставшиеся четыре слагаемых сгруппировали в две пары, в каждой из которых вынесли общий множитель (из первой пары - множитель \(ad\), а из второй пары - множитель \(bc\).

– Получили одинаковую скобку, которую также вынесли как общий множитель, получили произведение двух скобок, что совпадает с правой частью тождества.