Упражнение 953 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(a^8 - b^8 = \bigl(a^4\bigr)^2 - \bigl(b^4\bigr)^2 =\)

\(=\bigl(a^4 - b^4\bigr)\bigl(a^4 + b^4\bigr)=\)

\(=\bigl((a^2)^2 - (b^2)^2\bigr)\bigl(a^4 + b^4\bigr)=\)

\(= (a^2 - b^2)\bigl(a^2 + b^2\bigr)\bigl(a^4 + b^4\bigr) =\)

\(=(a - b)(a + b)\bigl(a^2 + b^2\bigr)\bigl(a^4 + b^4\bigr). \)

Тождество доказано.

Пояснения:

— Использована формула разности квадратов:

\(a^2 - b^2= (a - b)(a + b).\)

Свойство степени:

\((a^m)^n = a^{m\cdot{n}}\).

— На первом этапе:

\(a^8 - b^8 = (a^4 - b^4)(a^4 + b^4)\).

— На втором этапе разложили:

\(a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)\).

— На третьем этапе:

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).

— Собрав все множители, получили требуемый вид:

\( a^8 - b^8 = (a - b)(a + b)\bigl(a^2 + b^2\bigr)\bigl(a^4 + b^4\bigr). \)

Пусть \(x\) - среднее число. Тогда три последовательных целых числа можно записать как \(x-1\), \(x\) и \(x+1\).

\( (k-1)\,k\,(k+1) + k=\)

\( (k^2 - 1)\,k + k = k^3 - k + k = k^3 \).

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

1. Последовательные целые числа отличаются на 1, поэтому их удобно записать как \(k-1\), \(k\) и \(k+1\), где \(k\) — среднее.

2. Формула разности квадратов позволяет быстро раскрыть скобки:

\( (k-1)(k+1) = k^2 - 1. \)

3. Умножение на \(k\) даёт \(k^3 - k\).

4. При добавлении \(k\) члены \(-k\) и \(+k\) сокращаются, и остаётся только \(k^3\), что и требовалось доказать.