Упражнение 929 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(327^3 + 173^3 = \)

\(=(327 + 173)\bigl(327^2 - 327\cdot173 + 173^2\bigr) =\)

\(=500 \cdot \bigl(327^2 - 327\cdot173 + 173^2\bigr)\) - делится на 500.

б) \(731^3 - 631^3 =\)

\(=(731 - 631)\bigl(731^2 + 731\cdot631 + 631^2\bigr) =\)

\(=100 \cdot \bigl(731^2 + 731\cdot631 + 631^2\bigr)\) - делится на 100.

в) \(211^3 + 129^3 =\)

\(=(211 + 129)\bigl(211^2 - 211\cdot129 + 129^2\bigr) =\)

\(=340 \cdot \bigl(211^2 - 211\cdot129 + 129^2\bigr) =\)

\(=17\cdot20 \cdot \bigl(211^2 - 211\cdot129 + 129^2\bigr)\) - делится на 17.

г) \(356^3 - 245^3 =\)

\(=(356 - 245)\bigl(356^2 + 356\cdot245 + 245^2\bigr) =\)

\(=111 \cdot \bigl(356^2 + 356\cdot245 + 245^2\bigr) =\)

\(= 3\cdot37 \cdot \bigl(356^2 + 356\cdot245 + 245^2\bigr) \) - делится на 3.

Пояснения:

Использованные формулы:

— Сумма кубов:

\(\;a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\).

— Разность кубов:

\(\;a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\).

Свойство делимости:

если в произведении один из множителей делится на какое-либо число, то и все произведение делится на это число.

а) \((a - 3c)(4c + 2a) + 3c(a + 3c) = (2a - c)(3c + 5a) - 8a^2\)

1) \( (a - 3c)(4c + 2a) +  3c(a + 3c)= \)

\(=4ac + 2a^2 - 12c^2 - 6ac + 3ac + 9 c^2= \)

\(= 2a^2 + ac - 3c^2. \)

2) \( (2a - c)(3c + 5a) - 8a^2=\)

\(= 6ac + 10a^2 - 3c^2 - 5ac - 8a^2=\)

\(= 2a^2 + ac - 3c^2. \)

Тождество доказано.

б) \((1 - 2b)(1 - 5b + b^2) + (2b - 1)(1 - 6b + b^2) = b(1 - 2b)\)

1) \( (1 - 2b)(1 - 5b + b^2) + (2b - 1)(1 - 6b + b^2)=\)

\(= \cancel{1} - 5b + \cancel{b^2} - \cancel{2b} + 10b^2 - \cancel{2b^3} + \cancel{2b} - 12b^2 + \cancel{2b^3} - \cancel{1} + 6b - \cancel{b^2} =\)

\(= b - 2b^2 \)

2)  \(b(1 - 2b) = b - 2b^2\).

Тождество доказано.

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) Умножение одночлена на многочлен:

\(a(b + c) = ab + ac\).

2) Умножение многочлена на многочлен: каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго многочлена:

\((a+b)(c+d)=ac + ad + bc + bd\).

3) Приведение подобных слагаемых:

\(ax + bx = (a + b)x\).

В обеих частях задачи мы последовательно раскрыли все скобки, выполнили сложение или вычитание полученных членов и убедились, что левая и правая части совпадают при любых значениях переменных.