Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№843 учебника 2023-2025 (стр. 171):
Пользуясь формулой куба суммы, преобразуйте в многочлен выражение:
а) \((a + 2)^3\);
б) \((2x + y)^3\);
в) \((a + 3b)^3\).
№843 учебника 2013-2022 (стр. 171):
Поставьте вместо многоточия какой-либо из знаков \(≥\) или \(≤\) так, чтобы получившееся неравенство было верно при любом значении \(x\):
а) \(x^2 - 16x + 64 \;\dots\; 0\);
б) \(16 + 8x + x^2 \;\dots\; 0\);
в) \(-x^2 - 4x - 4 \;\dots\; 0\);
г) \(-x^2 + 18x - 81 \;\dots\; 0\).
№843 учебника 2023-2025 (стр. 171):
Вспомните:
№843 учебника 2013-2022 (стр. 171):
Вспомните:
№843 учебника 2023-2025 (стр. 171):
а) \( (a + 2)^3 =\)
\(=a^3 + 3a^2\cdot2 + 3a\cdot2^2 + 2^3 =\)
\(=a^3 + 6a^2 + 12a + 8. \)
б) \( (2x + y)^3 = \)
\(=(2x)^3 + 3\cdot(2x)^2\cdot{y} + 3\cdot2x\cdot{y^2} + y^3 =\)
\(=8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3. \)
в) \( (a + 3b)^3 =\)
\(=a^3 + 3a^2\cdot3b + 3a\cdot(3b)^2 + (3b)^3 =\)
\(=a^3 + 9a^2b + 27ab^2 + 27b^3. \)
Пояснения:
Использованная формула:
\( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \)
При преобразовании, использовали свойство степени:
\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)
В каждом пункте подставляем \(a\) и \(b\) соответствующих выражений, раскрываем степени и перемножаем коэффициенты.
№843 учебника 2013-2022 (стр. 171):
а) \(x^2 - 16x + 64 = (x - 8)^2 \ge 0\)
\((x - 8)^2 \ge 0\)
б) \((x + 4)^2 \ge 0\)
\((x + 4)^2 \ge 0\)
в) \(-x^2 - 4x - 4 \le 0\)
\(-\,(x + 2)^2 \le 0\)
г) \(-x^2 + 18x - 81 \le 0\)
\(-\,(x - 9)^2 \le 0\)
Пояснения:
Использованные приемы и формулы:
1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,
2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.
3) Квадрат двучлена неотрицателен:
\( a^2 \ge 0. \)
4) При умножении неотрицательного числа на \(-1\) получается не положительное число: \( -a^2 \le 0. \)
Пояснение к пункту а):
Применили формулу полного квадрата:
\(x^2 - 16x + 64 = (x - 8)^2\).
Так как любой квадрат \(≥ 0\), то
\( (x - 8)^2 \ge 0\).
Пояснение к пункту б):
Применили формулу полного квадрата:
\(x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2\).
Так как любой квадрат \(≥ 0\), то
\( (x + 4)^2 \ge 0\).
Пояснение к пункту в):
Вынесли «−» и получили полный квадрат:
\(-x^2 - 4x - 4 =\)
\(=-\,(x^2 + 4x + 4) =\)
\(=-\,(x + 2)^2\).
Минус квадрата любого выражения всегда \(≤ 0\), значит,
\(-\,(x + 2)^2 \le 0\).
Пояснение к пункту г):
Вынесли «−» и получили полный квадрат:
\(-x^2 + 18x - 81 =\)
\(=-\,(x^2 - 18x + 81) =\)
\(=-\,(x - 9)^2\).
Минус квадрата любого выражения всегда \(≤ 0\), значит,
\(-\,(x - 9)^2 \le 0.\)
Вернуться к содержанию учебника