Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№814 учебника 2023-2025 (стр. 164):
Докажите, что:
а) если \(ab + c^2 = 0\), то
\((a + c)(b + c) + (a - c)(b - c) = 0\);
б) если \(a + b = 9\), то
\((a + 1)(b + 1) - (a - 1)(b - 1) = 18\).
№814 учебника 2013-2022 (стр. 167):
Замените знак \(*\) одночленом так, чтобы получившееся равенство было тождеством:
а) \((* + 2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2\);
б) \((3x + *)^2 = 9x^2 + 6ax + a^2\);
в) \((* - 2m)^2 = 100 - 40m + 4m^2\);
г) \((* - 9c)^2 = 36a^4 - 108a^2c + 81c^2\);
д) \((5y + *)^2 = 25y^2 + 4x^3y + 0{,}16x^6\);
е) \((3a + 2{,}5b)^2 = 9a^2 + 6{,}25b^2 + *\).
№814 учебника 2023-2025 (стр. 164):
Вспомните:
№814 учебника 2013-2022 (стр. 167):
Вспомните:
№814 учебника 2023-2025 (стр. 164):
а) \(ab + c^2=0\)
\( (a + c)(b + c) + (a - c)(b - c) =\)
\(=ab + \cancel{ac} + \cancel{bc} + c^2 + ab - \cancel{ac} - \cancel{bc} + c^2 =\)
\(=2ab + 2c^2 = 2(ab + c^2) =\)
\(=2\cdot0 = 0. \)
б) \(a+b=9\)
\( (a + 1)(b + 1) - (a - 1)(b - 1) =\)
\(=(ab + a + b + 1) - (ab - a - b + 1) =\)
\(=\cancel{ab} + a + b + \cancel{1} - \cancel{ab} + a + b - \cancel{1} =\)
\(=2a + 2b = 2(a + b) =
\(= 2\cdot9 = 18. \)
Пояснения:
Для доказательства тождества сначала раскрываем скобки, для этого применили правило умножения многочлена на многочлен, то есть умножили каждый член одного многочлена на каждый член другого многочлена. Затем в полученном выражении приводим подобные члены, при это вычеркиваем противоположные, так как их сумма равна нулю. Далее в полученном выражении выносим общий множитель за скобки и выполняем подстановку чисел вместо заданных выражений.
В пункте а) после раскрытие даёт \(2(ab + c^2)\), по условию \(ab + c^2 = 0\), отсюда \(2\cdot0 = 0. \)
В пункте б) раскрытие даёт \(2(a + b)\), а по условию \(a + b = 9\), отсюда
\(2\cdot9 = 18\).
№814 учебника 2013-2022 (стр. 167):
а) \((* + 2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2\)
\((* + 2b)^2 = a^2 + 2\cdot{a}\cdot{2b} + (2b)^2\)
\((* + 2b)^2 =(a + 2b)^2\)
\(* = a\)
Ответ: \(* = a\).
б) \((3x + *)^2 = 9x^2 + 6ax + a^2\)
\((3x + *)^2 = (3x)^2 + 2\cdot{3x}\cdot{a} + a^2\)
\((3x + *)^2 =(3x + a)^2\)
\(*= a\)
Ответ: \(*= a\).
в) \((* - 2m)^2 = 100 - 40m + 4m^2\)
\((* - 2m)^2 = 10^2 - 2\cdot10\cdot{2m} + (2m)^2\)
\((* - 2m)^2 = (10 - 2m)^2 \)
\(* = 10\)
Ответ: \(* = 10\).
г) \((* - 9c)^2 = 36a^4 - 108a^2c + 81c^2\)
\((* - 9c)^2 = (6a^2)^2 - 2\cdot{6a^2}\cdot{9c} + (9c)^2\)
\((* - 9c)^2 =(6a^2 - 9c)^2\)
\(* = 6a^2\)
Ответ: \(* = 6a^2\).
д) \((5y + *)^2 = 25y^2 + 4x^3y + 0{,}16x^6\)
\((5y + *)^2 = (5y)^2 + 2 \cdot5y\cdot0{,}4x^3 + (0{,}4x^3)^2\)
\((5y + *)^2 = (5y + 0{,}4x^3)^2 \)
\(* = 0{,}4x^3\)
Ответ: \(* = 0{,}4x^3\).
е) \((3a + 2{,}5b)^2 = 9a^2 + 6{,}25b^2 + *\)
\((3a + 2{,}5b)^2 = 9a^2 + 6{,}25b^2 + *\)
\((3a)^2 + 2\cdot{3a}\cdot2,5b + (2{,}5b)^2 = 9a^2 + 6{,}25b^2 + *\)
\(9a^2 + 15ab + 6{,}25b^2 = 9a^2 + 6{,}25b^2 + *\)
\(9a^2 + 6{,}25b^2 + 15ab = 9a^2 + 6{,}25b^2 + *\)
\(* = 15ab\)
Ответ: \(* = 15ab\).
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,
2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.
3) При выполнении преобразований, использовали свойства степени:
\((a\cdot{b})^n = a^nb^n;\)
\((a^m)^n = a^{mn}.\)
В пунктах а) - д) преобразовали правые части равенств по формулам квадрата суммы или квадрата разности, что позволило определить значение \(*\).
В пункте е) преобразовали левую часть равенства по формуле квадрата суммы, что позволило определить значение \(*\).
Вернуться к содержанию учебника