Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№811 учебника 2023-2025 (стр. 164):
Докажите тождество:
а) \((y^4 + y^3)(y^2 - y) =\)
\(=y^4(y + 1)(y - 1);\)
б) \((a^2 + 3a)(a^2 + 3a + 2) =\)
\(=a(a + 1)(a + 2)(a + 3);\)
в) \((a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2) =\)
\(a^4 + a^2b^2 + b^4;\)
г) \((c^4 - c^2 + 1)(c^4 + c^2 + 1) =\)
\(=c^8 + c^4 + 1.\)
№811 учебника 2013-2022 (стр. 167):
Выполните возведение в квадрат:
а) \((x^2 - 5)^2\);
б) \((7 - y^3)^2\);
в) \((2a + b^4)^2\);
г) \(( -3p + q^3 )^2\).
№811 учебника 2023-2025 (стр. 164):
Вспомните:
№811 учебника 2013-2022 (стр. 167):
Вспомните:
№811 учебника 2023-2025 (стр. 164):
а) \((y^4 + y^3)(y^2 - y) =\)
\(=y^4(y + 1)(y - 1).\)
\(y^3(y + 1)\;\cdot\;y(y - 1) = \)
\(=y^4(y + 1)(y - 1)=\)
\(=y^4(y + 1)(y - 1).\)
б) \((a^2 + 3a)(a^2 + 3a + 2) = \)
\(=a(a + 1)(a + 2)(a + 3)\)
\(a(a + 3)(a^2 + a + 2a + 2)= \)
\(=a(a + 3)(a(a + 1) + 2(a + 1))= \)
\(=a(a + 3)(a + 1)(a + 2)= \)
\(=a(a + 1)(a + 2)(a + 3)\).
в) \((a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2) =\)
\(=a^4 + a^2b^2 + b^4\)
\( (a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2) =\)
\( = a^4 - \cancel{a^3b} + \cancel{a^2b^2} + \cancel{a^3b} - \cancel{a^2b^2} + \cancel{ab^3} + a^2b^2 - \cancel{ab^3} + b^4 =\)
\(=a^4 + a^2b^2 + b^4. \)
г) \((c^4 - c^2 + 1)(c^4 + c^2 + 1) = \)
\(=c^8 + c^4 + 1\)
\( (c^4 - c^2 + 1)(c^4 + c^2 + 1) =\)
\( = c^8 + \cancel{c^6} +\cancel{c^4} - \cancel{c^6} - \cancel{c^4} - \cancel{c^2} + c^4 + \cancel{c^2} + 1 =\)
\(=c^8 + c^4 + 1. \)
Пояснения:
В пункте а) в левой части равенства выделили \(y^3\) из первого множителя и \(y\) из второго, затем перемножили, получили правую часть равенства, тем самым доказали тождество.
В пункте б) в левой части равенства разложили \(a^2+3a\) на \(a(a+3)\) и \(a^2+3a+2\) на \((a+1)(a+2)\), получили правую часть равенства, тем самым доказали тождество..
В пунктах в) и г) в левых частях равенств сначала выполнили умножение многочлена на многочлена, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена. Учитывая свойство степени:
\(a^m\cdot{a^n}=a^{m+n}\),
в) После раскрытия появились положительные и отрицательные слагаемые одинаковой степени, которые взаимно уничтожаются, остаётся только \(a^4\), \(a^2b^2\) и \(b^4\).
г) То же самое: при суммировании слагаемых \(c^6\) и \(c^2\) они сокращаются, и остаются только \(c^8\), \(c^4\) и константа \(1\).
№811 учебника 2013-2022 (стр. 167):
а) \((x^2 - 5)^2 =\)
\(=(x^2)^2 - 2\cdot x^2\cdot5 + 5^2 =\)
\(=x^4 - 10x^2 + 25.\)
б) \((7 - y^3)^2 =\)
\(=7^2 - 2\cdot7\cdot{y^3} + (y^3)^2 =\)
\(=49 - 14y^3 + y^6.\)
в) \((2a + b^4)^2 =\)
\(=(2a)^2 + 2\cdot2a\cdot b^4 + (b^4)^2 =\)
\(=4a^2 + 4ab^4 + b^8.\)
г) \(( -3p + q^3 )^2 = q^3 - 3h)^2=\)
\(=(q^3)^2 - 2\cdot3p\cdot q^3 + 3p^2 =\)
\(=q^6 - 6pq^3 + 9p^2.\)
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,
2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.
3) При выполнении преобразований, использовали свойство возведения степени в степень:
\((a^m)^n = a^{mn}.\)
Вернуться к содержанию учебника