Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№810 учебника 2023-2025 (стр. 164):
Докажите, что:
а) \(a(x + 6) + x(x - 3a) = 9\) при \(x = 2a - 3\);
б) \(x(x - 3a) + a(a + x) + 4 = 13\) при \(x = a + 3\).
№810 учебника 2013-2022 (стр. 167):
Используя формулу квадрата суммы или формулу квадрата разности, вычислите:
а) \((100 + 1)^2\);
б) \((100 - 1)^2\);
в) \(61^2\);
г) \(199^2\);
д) \(999^2\);
е) \(702^2\);
ж) \(9{,}9^2\);
з) \(10{,}2^2\).
№810 учебника 2023-2025 (стр. 164):
№810 учебника 2013-2022 (стр. 167):
Вспомните:
№810 учебника 2023-2025 (стр. 164):
а) \(a(x + 6) + x(x - 3a) = 9\)
При \(x = 2a - 3\):
\(a\bigl((2a - 3 + 6) + 6\bigr) + (2a - 3)\bigl(2a - 3 - 3a\bigr) =\)
\(=a(2a + 3) + (2a - 3)(-a - 3)= \)
\( = \cancel{2a^2} + \cancel{3a} - \cancel{2a^2} - \cancel{6a} + \cancel{3a} + 9 = 9.\)
Что и требовалось доказать.
б) \(x(x - 3a) + a(a + x) + 4 = 13\)
При \(x = a + 3\):
\( (a + 3)\bigl(a + 3 - 3a\bigr) + a\bigl(a + a + 3\bigr) + 4 =\)
\(=(a + 3)(-2a + 3) + a(2a + 3) + 4 =\)
\(=-2a^2 + 3a - 6a + 9 + 2a^2 + 3a + 4 =\)
\( = -\cancel{2a^2} - \cancel{3a} + 9 + \cancel{2a^2} + \cancel{3a} + 4 =\)
\(=9 + 4 = 13. \)
Что и требовалось доказать.
Пояснения:
Правило подстановки: Для доказательства тождества нужно подставить в выражение заданное значение переменной и упростить, выполняя операции сложения и умножения.
В пункте а) сначала подставили
\(x=2a-3\) в оба слагаемых, затем раскрыли скобки по формуле
\((u+v)w=uw+vw\), после чего сгруппировали подобные члены.
В пункте б) применили ту же процедуру: подстановка \(x=a+3\), раскрытие скобок по формуле
\((u+v)w=uw+vw\), после чего сгруппировали подобные члены.
В обоих случаях после упрощения получилось заданное числовое значение, что и требовалось доказать.
№810 учебника 2013-2022 (стр. 167):
а) \((100+1)^2 =\)
\(=100^2 + 2\cdot100\cdot1 + 1^2 =\)
\(=10000 + 200 + 1 = 10201.\)
б) \((100-1)^2 =\)
\(=100^2 - 2\cdot100\cdot1 + 1^2 =\)
\(=10000 - 200 + 1 = 9801.\)
в) \(61^2 = (60+1)^2 =\)
\(=60^2 + 2\cdot60\cdot1 + 1^2 =\)
\(=3600 + 120 + 1 = 3721.\)
г) \(199^2 = (200-1)^2 =\)
\(=200^2 - 2\cdot200\cdot1 + 1^2 =\)
\(=40000 - 400 + 1 = 39601.\)
д) \(999^2 = (1000-1)^2 =\)
\(=1000^2 - 2\cdot1000\cdot1 + 1^2 =\)
\(=1000000 - 2000 + 1 = 998001.\)
е) \(702^2 = (700+2)^2 =\)
\(=700^2 + 2\cdot700\cdot2 + 2^2 =\)
\(=490000 + 2800 + 4 = 492804.\)
ж) \(9{,}9^2 = (10-0{,}1)^2 =\)
\(=10^2 - 2\cdot10\cdot0{,}1 + 0{,}1^2 =\)
\(=100 - 2 + 0{,}01 = 98{,}01.\)
з) \(10{,}2^2 = (10+0{,}2)^2 =\)
\(=10^2 + 2\cdot10\cdot0{,}2 + 0{,}2^2 =\)
\(=100 + 4 + 0{,}04 = 104{,}04.\)
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,
2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.
а–б) Применяли прямые формулы квадрата суммы и квадрата разности к \(100 \pm 1\).
в) Чтобы вычислить \(61^2\), взяли \(61\) = \(60+1\) и использовали формулу квадрата суммы.
г) Чтобы вычислить \(199^2\), взяли \(199 = 200 - 1\) и применили формулу квадрата разности.
д) Чтобы вычислить \(999^2\), взяли \(999 = 1000 - 1\) и применили формулу квадрата разности .
е) Чтобы вычислить \(702^2\), взяли \(702 = 700 + 2\) и применили формулу квадрата суммы.
ж) Чтобы вычислить \(9{,}9^2\), взяли \(9{,}9=10 - 0{,}1\) и применили формулу квадрата разности.
з) Чтобы вычислить \(10{,}2^2 \), взяли\(10{,}2 = 10 + 0{,}2\) и применили формулу квадрата суммы.
Вернуться к содержанию учебника