Упражнение 798 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 162

а) \((a - 3)(a^2 - 8a + 5) - (a - 8)(a^2 - 3a + 5)=\)

\(=(d^3 - 8a^2 + 5a - 3a^2 + 24a - 15) - (a^3 - 3a^2 + 5a - 8a^2 + 24a - 40)=\)

\(=(a^3 - 11a^2 + 29a - 15) - (a^3 - 11a^2 + 29a - 40)=\)

\(=\cancel{a^3} - \cancel{11a^2} + \cancel{29a} - 15 - \cancel{a^3} + \cancel{11a^2} - \cancel{29a} + 40 =\)

\(=-15 + 40 = 25\) - не зависит от значения переменной.

б) \((x^2 - 3x + 2)(2x + 5) - (2x^2 + 7x + 17)(x - 4) =\)

\(=(2x^3 + 5x^2 - 6x^2 - 15x + 4x +10) - (2x^3 - 8x^2 + 7x^2 - 28x + 17x - 68)=\)

\(=(2x^3 - x^2 - 11x + 10) - (2x^3 - x^2 - 11x - 68)=\)

\(=\cancel{2x^3} - \cancel{x^2} - \cancel{11x} + 10 - \cancel{2x^3} + \cancel{x^2} + \cancel{11x} + 68) =\)

\(=10 + 68 = 78\) - не зависит от значения переменной.

в) \((b^2 + 4b - 5)(b - 2) + (3 - b)(b^2 + 5b + 2)= \)

\(=(b^3 - 2b^2 + 4b^2 - 8b - 5b + 10) + (3b^2 + 15b + 6 - b^3 - 5b^2 - 2b=\)

\(=(b^3 + 2b^2 - 13b + 10) + (-b^3 - 2b^2 + 13b + 6=\)

\(=\cancel{b^3} +\cancel{2b^2} - \cancel{13b} + 10 -\cancel{b^3} - \cancel{2b^2} +\cancel{13b} + 6 = 10 + 6 = 16\) - не зависит от значения переменной.

Пояснения:

1. Умножение многочлена на многочлен, то есть каждый член одного многочлена умножаем на каждый член другого многочлена:

\( (a + b)(c + d + m) =\)

\(=ac + ad + am + bc + bd + bm\)

2. Внутри каждого многочлена, полученного после умножения, приводим подобные члены: складываем и вычитаем члены с одинаковыми степенями и переменными.

3. Сложить или вычитание многочленов: у многочлена, который вычитают, нужно поменять все знаки на противоположные.

4. Вычеркиваем противоположные члены, так как их сумма равна нулю

5. Во всех трёх случаях коэффициенты при степенях переменной полностью сокращаются, и остаётся только числовая часть выражения. Это доказывает, что итог выражения не зависит от значения переменной.

а) \(ab + c^2=0\)

\( (a + c)(b + c) + (a - c)(b - c) =\)

\(=ab + \cancel{ac} + \cancel{bc} + c^2 + ab - \cancel{ac} - \cancel{bc} + c^2 =\)

\(=2ab + 2c^2 = 2(ab + c^2) =\)

\(=2\cdot0 = 0. \)

б) \(a+b=9\)

\( (a + 1)(b + 1) - (a - 1)(b - 1) =\)

\(=(ab + a + b + 1) - (ab - a - b + 1) =\)

\(=\cancel{ab} + a + b + \cancel{1} - \cancel{ab} + a + b - \cancel{1} =\)

\(=2a + 2b = 2(a + b) =

\(= 2\cdot9 = 18. \)

Пояснения:

Для доказательства тождества сначала раскрываем скобки, для этого применили правило умножения многочлена на многочлен, то есть умножили каждый член одного многочлена на каждый член другого многочлена. Затем в полученном выражении приводим подобные члены, при это вычеркиваем противоположные, так как их сумма равна нулю. Далее в полученном выражении выносим общий множитель за скобки и выполняем подстановку чисел вместо заданных выражений.

В пункте а) после раскрытие даёт \(2(ab + c^2)\), по условию \(ab + c^2 = 0\), отсюда \(2\cdot0 = 0. \)

В пункте б) раскрытие даёт \(2(a + b)\), а по условию \(a + b = 9\), отсюда

\(2\cdot9 = 18\).