Упражнение 744 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(a=3k+1\) и \(b=3p+2\),

где \(p\) и \(k\) - целые числа.

\((ab+1) = (3k+1)(3p+2) + 1=\)

\(=9kp + 6k + 3p + 2 + 1 =\)

\(=9kp + 6k + 3p + 3=\)

\(=3(3kp + 2k + p + 1)\) - делится на 3.

Пояснения:

1. Деление с остатком: любое целое \(a\) при делении на 3 может давать остаток 1 или 2 (по условию остатки не равны нулю), если число \(a\) при делении на 3 дает остаток 1, то \(a=3k+1\), где \(k\) - целое число, если число \(a\) при делении на 3 дает остаток 2, то \(b=3p+2\), где \(p\) - целое число.

2. По правилу умножения многочлена на многочлен:

\((ab+1) = (3k+1)(3p+2) + 1=\)

\(=9kp + 6k + 3p + 3=\)

\(=3(3kp + 2k + p + 1)\)

3. Свойства делимости: в полученном произведении один из множителей делится на 3, при этом сумма

\(3kp + 2k + p + 1\) - целое число, так как \(k\) и \(p\) - целые числа, значит, \(ab+1\) - делится на 3. Что и требовалось доказать.

\[ \overline{ab} = 10a + b,\quad \overline{ba} = 10b + a. \]

а) \( \overline{ab} + \overline{ba} =\)

\(=(10a + b) + (10b + a) =\)

\(=10a + b + 10b + a =\)

\(=11a + 11b = 11\,(a + b) \) - кратно сумме \(a+b\).

б) \( \overline{ab} - \overline{ba} =\)

\(=(10a + b) - (10b + a) =\)

\(=10a + b - 10b - a =\)

\(=9a - 9b = 9\,(a - b). \) - кратно 9.

Пояснения:

1. Десятичная запись. Число \(\overline{ab}\) в виде многочлена равно \(10a + b\),

где \(a\) — количество десятков,

\(b\) — количество единиц.

2. Делимость на сумму цифр. Выражение \(11(a+b)\) содержит множитель \((a+b)\), поэтому делится на него без остатка.

3. Делимость на 9. Произведение \(9\,(a-b)\) содержит множитель 9, значит, разность чисел делится на 9.