Упражнение 641 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 139

Нам известно, что любая фигура, образованная из нескольких фигур, имеет площадь, равную сумме площадей этих фигур. В нашем случае большой прямоугольник площадью \(a(b+c)\) разделен на два прямоугольника одинаковой высоты \(a\), которые имеют ширину \(b\) и \(c\). По правилу суммы площадей:

\[ \underbrace{a(b+c)}_{\text{площадь большого}} = \underbrace{a b}_{\text{площадь первого}} + \underbrace{a c}_{\text{площадь второго}}. \]

Пояснения:

На рисунке 82 изображён прямоугольник, длина которого равна \(b+c\), а высота — \(a\). Следовательно, его площадь равна

\( a\,(b+c). \)

Этот прямоугольник можно мысленно разбить на два прямоугольника: с шириной \(b\) (голубой) и с шириной \(c\) (серый). Их площади соответственно равны

\[ a\cdot b \quad\text{и}\quad a\cdot c. \]

Сумма площадей двух получившихся прямоугольников даёт

\[ ab + ac. \]

Таким образом,

\[ a(b+c)=ab+ac. \]

Пусть \(x\) флоринов - весь выигрыш.

Тогда  \(\frac{1}{4}x\) флоринов - пришлось на долю первого;

\(\frac{1}{7}x\) флоринов - пришлось на долю второго.

\(\frac{1}{4}x + \frac{1}{7}x + 17 = x;\)        \(|\times28\) 

\(7x + 4x + 476 =28 x;\)

\(7x + 4x- 28x= -476;\) 

\(- 17x= -476;\) 

\(x = \frac{476}{17};\)

\(x = 28\) (флоринов) - весь выигрыш.

Ответ: выигрыш равен 28 флоринов.

Пояснения:

Решим данную задачу с помощью уравнения. Примем за переменную \(x\) флоринов величину всего выигрыша. Нам известно, что, чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь. По условию на долю первого пришлось \(\frac14\) этой суммы, оо есть \(\frac{1}{4}x\) флоринов - пришлось на долю первого. На долю второго пришлось \(\frac17\), то есть \(\frac{1}{7}x\) флоринов. При этом  на долю третьего пришлось 17 флоринов, то есть всего троим досталось \(\frac{1}{4}x + \frac{1}{7}x + 17\). С другой стороны, выше мы приняли весь выигрыш за \(x\) флоринов. Поэтому мы можем записать следующее уравнение:

\(\frac{1}{4}x + \frac{1}{7}x + 17 = x;\).

Решив данное уравнение, получаем, что весь выигрыш составил \(x = 28\) флоринов.

Получили \(x=28\). Проверка: 

\(\frac14\cdot28=7\),

\(\frac17\cdot28=4\), \(7+4+17=28\).

При решении уравнения сначала умножаем обе его части на наименьшее общее кратное знаменателей, чтобы «сократить» дроби и перейти к линейному уравнению без дробей. Слагаемые, содержащие переменную, переносим влево, остальные - вправо, если есть подобные - приводим. Данные шаги позволяют получить линейное уравнение вида \(a\,x = b\), корень которого: \(x = \frac{b}{a}\).