Задание 404 - ГДЗ Геометрия 7-9 класс. Атанасян. Учебник

Дано: прямые с₁ и b₁ симметричны прямым с и b относительно прямой , с b.

Доказать: с₁ b₁

Доказательство:

1 случай:

Пусть b и с пересекают ось .

В АМВ и АМ₁В: АВ общая, АМ = АМ₁, ВМ = ВМ₁ (т.к. прямые с₁ и b₁ симметричны прямым с и b относительно прямой ), АМВ = АМ₁В по 3 признаку равенства треугольников, АМВ = АМ₁В, с₁ b₁. Что и требовалось доказать.

2 случай:

Пусть b пересекает ось , а c не пересекает.

с и с₁ симметричны относительно , с с₁, а b и b₁ - совпадают, при этом с b, с₁ b₁. Что и требовалось доказать.

Пояснения:

1 случай:

Пусть обе прямые b и с пересекают ось симметрии в точках А и В соответственно. Две фигуры называются симметричными относительно прямой, если каждая точка одной фигуры симметрична некоторой точке другой фигуры, и обратно. Каждая точка оси  симметрична самой себе. Тогда, точки А и В симметричны сами себе соответственно, а точка М симметрична точке М₁.

Рассмотрим АМВ и АМ₁В. Сторона АВ в этих треугольниках общая, а также АМ = АМ₁, ВМ = ВМ₁, т.к. расстояние между двумя данными точками  равно расстоянию между симметричными им точками. Следовательно, АМВ = АМ₁В по 3 признаку равенства треугольников (по трем сторонам). В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат соответственно равные углы, тогда АМВ = АМ₁В. При этом по условию с b, значит, и с₁ b₁. Что и требовалось доказать.

Пусть одна прямая b пересекает ось , а другая прямая c не пересекает ось . Прямые с и с₁ симметричны относительно оси , значит, прямая с₁ также не пересекает ось , т.е. с с₁, т.к. если две прямые симметричны относительно оси  , то они либо параллельны, либо их точка пересечения лежит на оси симметрии .

Прямая c не пересекает ось , значит, с , при этом с b, значит, b , так как если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая ей перпендикулярна, следовательно, прямая b и симметричная ей прямая b₁ совпадают и b₁ c.

Итак, с с₁, b₁ c, значит, с₁ b₁, так как если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая ей перпендикулярна. Что и требовалось доказать.