Упражнение 897 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\[ x^3-2x^2+3x-18=0 \]

Если \(x = 1\), то

\[ 1^3-2\cdot1^2+3\cdot1-18=0 \]

\(-16 = 0\) - неверно.

Если \( x=2\), то

\(2^3-2\cdot 2^2+3\cdot 2-18=0\)

\(-12 = 0 \) - неверно.

Если \( x=3\), то

\(3^3-2\cdot 3^2+3\cdot 3-18=0\)

\(0=0 \) - верно.

\(x = 3\) - корень уравнения.

\( x^3-2x^2+3x-18=(x-3)(x^2+x+6) \)

\((x-3)(x^2+x+6) = 0\)

\[ x^2+x+6=0 \]

\(a=1\),  \(b = 1\),  \(c = 6\)

\( D=b^2-4ac=\)

\(=1^2 - 4\cdot1\cdot6 =\)

\(=1-24=-23<0 \) - корней нет.

Ответ: \( x=3. \)

Пояснения:

Дано кубическое уравнение:

\[ x^3-2x^2+3x-18=0. \]

Чтобы решить его, удобно сначала попытаться найти целый корень. Для этого проверяют делители свободного члена (числа \(-18\)):

\[ \pm 1,\ \pm 2,\ \pm 3,\ \pm 6,\ \pm 9,\ \pm 18. \]

Подставляя значения, находим, что при \(x=3\) уравнение обращается в ноль. Значит, \(x=3\) — корень уравнения.

Тогда многочлен делится на \((x-3)\). После деления получаем:

\( x^3-2x^2+3x-18=\)

\(=(x-3)(x^2+x+6). \)

Далее решаем квадратное уравнение:

\[ x^2+x+6=0. \]

Находим дискриминант:

\[ D=b^2-4ac=1-24=-23. \]

Так как дискриминант отрицательный, действительных корней у этого уравнения нет.

Следовательно, исходное уравнение имеет единственный действительный корень:

\[ x=3. \]

1) \( C_{10}^3 =\frac{10!}{3!(10-3)!}=\frac{10!}{3!\cdot7!}= \)

\(=\frac{10\cdot\cancel9  ^{\color{blue}{3}}\cdot\cancel{8}  ^{\color{blue}{4}}\cdot\cancel{7!}}{\cancel3\cdot\cancel2\cdot1\cdot\cancel{7!}}=\)

\(= 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120 \)

2) \( C_8^2 =\frac{8!}{2!(8-2)!}=\frac{8!}{2!\cdot6!}= \)

\(=\frac{\cancel8  ^{\color{blue}{4}}\cdot7\cdot\cancel{6!}}{\cancel2\cdot1\cdot\cancel{6!}}= 4\cdot7 = 28\)

3) \( 120 \cdot 28 = 3360 \)

Ответ: \(3360\) способов.

Пояснения:

Здесь используются сочетания, так как порядок книг не важен — важно только, какие книги выбраны:

\[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Выбор научно-фантастических книг:

Из 10 книг нужно выбрать 3:

\[ C_{10}^3 = \frac{10!}{3!\cdot7!} = 120 \]

Выбор исторических книг:

Из 8 книг нужно выбрать 2:

\[ C_8^2 = \frac{8!}{2!\cdot6!} = = 28 \]

Общее количество способов:

Так как выборы независимы, применяем правило умножения:

\[ 120 \cdot 28 = 3360 \]