Упражнение 895 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases} x^2+y^2\leq 9, \\ |x|+|y|\leq 0 \end{cases}\)

1) \(x^2+y^2\leq 9\)

\(x^2+y^2 = 9\) - окружность с центром в точке \((0; 0)\) и радиусом \(r  = 3\).

2) \( |x|+|y|\leq 0\)

Так как \( |x|\geq 0,\) при любом \(x\),

\( |y|\geq 0\) при любом \(y\), то

\( |x|+|y|\geq 0\), тогда, неравенство

\( |x|+|y|\leq 0 \) возможно только при

\[ x=0,\qquad y=0. \]

Решение системы неравенств точка: \( (0,0). \)

б) \(\begin{cases} x^2+y^2\leq 9, \\ |y|-|x|\leq 0. \end{cases}\)

1) \(x^2+y^2\leq 9\)

\(x^2+y^2 = 9\) - окружность с центром в точке \((0; 0)\) и радиусом \(r  = 3\).

2) \( |y|-|x|\leq 0 \)

1) Если \(x \ge 0\),  \(y \ge 0\)

\( y-x\leq 0 \)

\( y\leq x \)

\( y = x \)

2) Если \(x \ge 0\),  \(y < 0\)

\( -y-x\leq 0 \)

\( -y\leq x \)

\( y\geq -x \)

\( y = -x \)

3) Если \(x < 0\),  \(y \ge 0\)

\( y+x\leq 0 \)

\( y\leq -x \)

\( y = -x \)

4) Если \(x < 0\),  \(y < 0\)

\( -y+x\leq 0 \)

\( -y\leq -x \)

\( y\geq x \)

\( y = x \)

Пояснения:

В каждой системе нужно найти пересечение двух множеств: круга

\[ x^2+y^2\leq 9 \]

и множества, задаваемого вторым неравенством.

Используем правила:

\[ |x|\geq 0,\qquad |y|\geq 0, \]

\[ |a|=0 \iff a=0. \]

Также неравенство

\[ x^2+y^2\leq 9 \]

задаёт круг радиуса \(3\) с центром в начале координат вместе с границей.

В пункте а) рассматриваем неравенство

\[ |x|+|y|\leq 0. \]

Но сумма двух неотрицательных чисел не может быть меньше нуля. Она может быть равна нулю только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю:

\[ |x|=0,\qquad |y|=0. \]

Отсюда получаем единственную точку:

\[ x=0,\qquad y=0. \]

Эта точка принадлежит кругу, значит решение системы в пункте а) — только начало координат.

В пункте б) второе неравенство преобразуется так:

\[ |y|-|x|\leq 0 \iff |y|\leq |x|. \]

Это означает, что расстояние точки до оси \(Ox\) не больше, чем расстояние до оси \(Oy\) по модулю координат. Границы этого множества задаются равенствами

\[ |y|=|x|. \]

Они распадаются на две прямые:

\[ y=x,\qquad y=-x. \]

Неравенство

\[ |y|\leq |x| \]

означает, что точка лежит между этими прямыми, то есть это две угловые области, направленные вправо и влево.

Но по первому неравенству нужно оставить только те точки, которые находятся внутри круга радиуса \(3\). Поэтому в ответе получаем две симметричные части круга, лежащие между прямыми

\[ y=x \quad \text{и} \quad y=-x. \]

Света — четверг

Алла — суббота

Осталось 4 дня и 4 человека:

\(P_4= 4! =4\cdot3\cdot2\cdot1= 24 \)

Ответ: 24 способа.

Пояснения:

Число всех возможных перестановок из \(n\) элементов без повторений вычисляется по формуле:

\(P_n = n!\).

Всего 6 учеников и 6 дней недели, значит изначально это задача на перестановки: \(6!\).

Но по условию есть ограничения:

Света обязательно дежурит в четверг — её место фиксировано.

Алла обязательно дежурит в субботу — её место тоже фиксировано.

После этого остаются:

4 ученика и 4 дня.

Этих 4 человек можно расставить по 4 дням любым способом:

\[ P_4=4! = 24 \]

Так как ограничения уже учтены, дополнительных условий нет.