Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№886 учебника 2023-2026 (стр. 213):
Взяли два различных натуральных числа. Эти числа сложили, перемножили, вычли из большего данного числа меньшее и разделили большее на меньшее. Оказалось, что сумма всех четырёх результатов равна \(441\). Найдите эти числа.
№886 учебника 2014-2022 (стр. 222):
Найдите значение:
а) многочлена \(3x^2-6x-5\) при \(x=1+\sqrt{2};\)
б) дроби \(\dfrac{x^2-x-5}{x-1}\) при \(x=\sqrt{5}+1.\)
№886 учебника 2023-2026 (стр. 213):
Вспомните:
№886 учебника 2014-2022 (стр. 222):
№886 учебника 2023-2026 (стр. 213):
Пусть \(a\) и \(b\) искомые натуральные числа и \( a>b \), тогда:
\[ (a+b)+ab+(a-b)+\frac{a}{b}=441 \]
\[ a+\cancel b+ab+a-\cancel b+\frac{a}{b}=441 \]
\[ ab+2a+\frac{a}{b}=441 \]
Так как \(ab+2a\) — целое число, а сумма равна целому числу \(441\), то \( \frac{a}{b} \) тоже целое число.
Пусть \( a=kb, \) где \(k\) — натуральное число, \(k>1\).
Подставим:
\[ kb^2+2kb+k=441 \]
\[ k(b^2+2b+1)=441 \]
\[ k(b+1)^2=441 \]
\(k = \frac{441}{(b+1)^2}\)
\((b+1)^2\) - делитель числа 41.
\( 441 = 21^2=3^2\cdot 7^2 \), тогда квадратные делители числа \(441\):
\[ 1,\;9,\;49,\;441 \]
Значит \( (b+1)^2=1,\;9,\;49,\;441 \), тогда
\[ b+1=1,\;3,\;7,\;21 \]
1) \(b + 1 = 1\)
\(b = 1- 1\)
\(b = 0\) - не является натуральным.
2) \(b + 1 = 3\)
\(b = 3- 1\)
\(b = 2\)
\[ k=\frac{441}{(2+1)^2}=\frac{441}{9}=49 \]
\[ a=kb=49\cdot 2=98 \]
3) \(b + 1 = 7\)
\(b = 7 - 1\)
\[ b=6 \]
\[ k=\frac{441}{(6+1)^2}=\frac{441}{49}=9 \]
\[ a=kb=9\cdot 6=54 \]
4) \(b + 1 = 21\)
\(b = 21- 1\)
\[ b=20 \]
\[ k=\frac{441}{(20+1)^2}=\frac{441}{441}=1 \]
\[ a=kb=20 \]
\(a = b = 20\) - не удовлетворяет условию \(a>b\).
Ответ: \( 98 \text{ и } 2;\quad 54 \text{ и } 6. \)
Пояснения:
Сначала обозначим большее число через \(a\), а меньшее через \(b\). Тогда все четыре результата записываются так:
\[ a+b,\quad ab,\quad a-b,\quad \frac{a}{b}. \]
По условию их сумма равна \(441\), поэтому составляем уравнение:
\[ (a+b)+ab+(a-b)+\frac{a}{b}=441. \]
Теперь приводим подобные слагаемые. Число \(+b\) и число \(-b\) уничтожаются:
\[ a+b+a-b=2a. \]
Поэтому всё уравнение упрощается до вида
\[ ab+2a+\frac{a}{b}=441. \]
Здесь \(ab\) и \(2a\) — целые числа. Их сумма тоже целая. Значит, чтобы вся левая часть была равна целому числу \(441\), дробь \( \frac{a}{b} \) тоже должна быть целым числом. Следовательно, большее число делится на меньшее.
Поэтому удобно ввести новое обозначение: \( a=kb, \) где \(k\) — натуральное число. Так как \(a>b\), то обязательно \( k>1. \)
После подстановки получаем:
\[ ab+2a+\frac{a}{b}=kb^2+2kb+k. \]
Во всех трёх слагаемых можно вынести общий множитель \(k\):
\[ kb^2+2kb+k=k(b^2+2b+1). \]
Выражение в скобках — это формула квадрата суммы:
\[ b^2+2b+1=(b+1)^2. \]
Тогда уравнение становится очень удобным:
\[ k(b+1)^2=441. \]
Теперь нужно разложить число \(441\) на множители:
\[ 441=21^2=3^2\cdot 7^2. \]
Так как \((b+1)^2\) — квадрат, он должен быть квадратным делителем числа \(441\). Такими делителями являются:
\[ 1,\;9,\;49,\;441. \]
Дальше по очереди проверяем все возможности. Из них получаются только два подходящих случая:
\( b=2,\ a=98 \) и \( b=6,\ a=54. \)
№886 учебника 2014-2022 (стр. 222):
а) \(3x^2-6x-5\)
При \(x=1+\sqrt{2}:\)
\(\small 3\cdot(1+\sqrt{2})^2-6\cdot(1+\sqrt{2})-5=\)
\(\small 3\cdot(1+2\sqrt{2}+2)-6\cdot(1+\sqrt{2})-5=\)
\(\small 3\cdot(3+2\sqrt{2})-6-6\sqrt{2}-5=\)
\(\small 9+6\sqrt{2}-11-6\sqrt{2}=-2\)
Ответ: значение выражения \(3x^2-6x-5\) при \(x=1+\sqrt{2}\) равно \(-2.\)
б) \(\dfrac{x^2-x-5}{x-1}\)
При \(x=\sqrt{5}+1:\)
\(\dfrac{(\sqrt{5}+1)^2-(\sqrt{5}+1)-5}{\sqrt{5}+1-1}=\)
\(=\dfrac{5+2\sqrt{5}+1-\sqrt{5}-1-5}{\sqrt{5}}=\)
\(=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=1.\)
Ответ: значение выражения \(\dfrac{x^2-x-5}{x-1}\) при \(x=\sqrt{5}+1\) равно \(1.\)
Пояснения:
Используемые правила:
1) Формула квадрата суммы:
\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.\]
2) Приведение подобных слагаемых.
3) Подстановка значения переменной в выражение с последующим упрощением.
Вернуться к содержанию учебника