Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№881 учебника 2023-2026 (стр. 213):
Докажите, что при положительных значениях \(a\), \(b\) и \(c\) верно неравенство
\[ \frac{(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)}{abc}\ge 27. \]
№881 учебника 2014-2022 (стр. 222):
а) Клиент банка внёс 80 000 р. на вклад с годовым доходом 5%. Какая сумма окажется у него на счёте через 2 года, если он никаких сумм со счёта не снимал и дополнительных вложений не делал?
б) Клиент банка внёс 80 000 р. на вклад с годовым доходом 5%. Через год он положил на этот же вклад ещё 20 000 р. Какая сумма будет у него на счёте через 2 года после открытия счёта в банке?
№881 учебника 2023-2026 (стр. 213):
Вспомните:
№881 учебника 2014-2022 (стр. 222):
№881 учебника 2023-2026 (стр. 213):
\[ \frac{(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)}{abc}\ge 27 \]
\( a^2+a+1=a^2 -2a + 1 + 3a = \)
\(= (a - 1)^2 + 3a\)
\((a - 1)^2 \ge 0\)
\((a - 1)^2 + 3a \ge 3a\)
\( a^2+a+1 \ge 3a\)
Аналогично:
\[ b^2+b+1\ge3b \]
\[ c^2+c+1\ge3c \]
Перемножим эти неравенства:
\[ (a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)\ge 3a\cdot3b\cdot3c \]
\[ (a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)\ge 27abc \]
Так как \(abc>0\), делим обе части на \(abc\):
\[ \frac{(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)}{abc}\ge 27 \]
Что и требовалось доказать.
Пояснения:
В этой задаче удобно использовать приём оценки каждого множителя снизу.
Нужно доказать, что всё выражение не меньше \(27\). Так как в знаменателе стоит произведение \(abc\), естественно попробовать сравнить каждый множитель числителя с соответствующим числом \(3a\), \(3b\), \(3c\).
Рассмотрим первое выражение:
\[ a^2+a+1. \]
Сравним его с \(3a\):
\[ a^2+a+1-3a=a^2-2a+1. \]
После приведения подобных членов получаем:
\[ a^2-2a+1=(a-1)^2. \]
Квадрат любого числа неотрицателен, значит:
\[ (a-1)^2\ge0. \]
Отсюда следует:
\[ a^2+a+1\ge3a. \]
Точно так же получаются неравенства
\[ b^2+b+1\ge3b \]
и
\[ c^2+c+1\ge3c. \]
Теперь используется важное свойство: если положительные величины сравниваются по отдельности, то их можно перемножить. Поэтому после перемножения трёх неравенств получаем оценку всего числителя:
\[ (a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)\ge27abc. \]
Так как по условию \(a\), \(b\), \(c\) положительны, то и \(abc>0\). Значит, можно разделить обе части неравенства на \(abc\), не меняя знак неравенства.
В результате получается именно то, что требовалось доказать:
\[ \frac{(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)}{abc}\ge27. \]
№881 учебника 2014-2022 (стр. 222):
а) 1) \(5\%=5:100 = 0,05\)
\(8000 \cdot0,05 = 400\) (р.) - доход за первый год вклада.
2) \(8000 + 400 =8400\) (р.) - сумма на счете в конце первого года.
3)\(8400 \cdot0,05 = 420\) (р.) - доход за второй год вклада.
4) \(8400 + 420 = 8820\) (р.) - сумма на счёте через 2 года.
Ответ: \(8820\) рублей.
б) 1) \(5\%=5:100 = 0,05\)
\(80 000 \cdot0,05 = 400\) (р.) - доход за первый год вклада.
2) \(8000 + 400 =8400\) (р.) - сумма на счете в конце первого года.
3) \(8400 + 2000 =10400\) (р.) - сумма на счете после дополнительного взноса.
4) \(10400 \cdot0,05 =520 \) (р.) - доход за второй год вклада.
5) \(10400+520=10920\) (р.) - будет на счёте через 2 года после открытия счёта в банке.
Ответ: \(10920\) рублей.
Пояснения:
Чтобы найти доход, который получит вкладчик за год, надо найти \(5\%\) от суммы, которая находится на вкладе. Чтобы найти, процент от числа, надо преобразовать проценты в десятичную дробь, для этого нужно число, стоящее перед знаком %, разделить на 100, затем умножить полученную дробь на данное число.
Чтобы найти сумму, которая окажется на вкладе в конце года, надо сложить изначальную сумму и доход.
Вернуться к содержанию учебника