Упражнение 1142 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( y = 2[x] \)

б) \( y = [2x] \)

в) \( y = -[x] \)

Пояснения:

Функция с целой частью \([x]\) всегда является ступенчатой. На каждом промежутке \( [n; n+1) \) она постоянна и делает скачок в целых точках.

— В пункте (а) график растягивается по оси \(y\) в 2 раза.
— В пункте (б) график сжимается по оси \(x\) в 2 раза (так как аргумент умножается на 2).
— В пункте (в) график отражается относительно оси \(OX\).

Итоговые свойства:

• а) \( y = 2[x] \) — шаг по \(x = 1\), шаг по \(y = 2\);
• б) \( y = [2x] \) — шаг по \(x = 0{,}5\), шаг по \(y = 1\);
• в) \( y = -[x] \) — отражение \(y = [x]\) относительно оси \(OX\).

\(a + c = 2b\) и \(2bd = c(b + d)\),

\(b \ne 0\) и \(d \ne 0\).

Доказать:

\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\).

Доказательство:

1. \( a + c = 2b \Rightarrow a = 2b - c. \)

2. \( 2bd = c(b + d) \Rightarrow c = \frac{2bd}{b + d}. \)

3. \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{2b-c}{b} = \dfrac{\frac{2bd}{b + d}}{d} \)

\( \dfrac{2b-c}{b} = \dfrac{\frac{2bd}{b + d}}{d} \)

\( \dfrac{2b-c}{b} =\dfrac{2bd}{b + d} : d \)

\( \dfrac{2b-c}{b} =\dfrac{2b\cancel d}{b + d} \cdot \dfrac{1}{\cancel d} \)

\( \dfrac{2b-c}{b} =\dfrac{2b}{b + d}\)

\( \dfrac{2b-c}{b} - \dfrac{2b}{b + d}  = 0\) \(/\times b(b+d)\)

\((2b -c)(b+d) - 2b^2 = 0\)

\(\cancel{2b^2} + 2bd - bc -cd -\cancel{2b^2} =0\)

\(2bd - bc - cd = 0\)

\(2bd = bc + cd\)

\(2bd = c(b+d)\)

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Из равенства \(a + c = 2b\) выражаем \(a\) через \(b\) и \(c\).

Из равенства \(2bd = c(b + d)\) выражаем \(c\) через \(b\) и \(d\).

После подстановки значений \(а\) и \(с\) в равенство \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) получаем равенство \(2bd = c(b+d)\), следовательно,

\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) , где \(b \ne 0\) и \(d \ne 0\).