Упражнение 929 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(a^2 + 5 > 2a\)

\(a^2 + 5 - 2a > 0\)

\(a^2 - 2a + 5 > 0\)

\((a^2 - 2a +1) + 4 > 0\)

\((a - 1)^2 + 4 > 0\) при любом \(a\).

Пояснения:

При доказательстве учитываем то, что:

- если \(a - b > 0\), то \(a > b\),

- квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab +b^2\),

- квадрат любого числа неотрицателен.

а) \(-0{,}5y\)

\(12 \le y \le 16\)  \(/\times (-0,5)\)

\(-0,5 \cdot 12 \ge -0,5y \ge -0,5 \cdot 16\)

\(--6 \ge -0,5y \ge -8\)

\(-8 \le -0,5y \le -6\) 

б) \(42 - 2y\)

\(12 \le y \le 16\)  \(/\times (-2)\)

\(-2 \cdot 12 \ge -2y \ge -2 \cdot 16\)

\(-24 \ge -2y \ge -32\)

\(-32 \le -2y \le -24\)

\(42-32 \le 42-2y \le 42 -24\)

\(10 \le 42-2y \le 18\)

в) \(\dfrac{1}{y} + 2\)

\(12 \le y \le 16\)

\(\frac{1}{12} \ge \frac1y \ge \frac{1}{16}\)

\(\frac{1}{16} \le \frac1y \le \frac{1}{12}\)

\(\frac{1}{16} + 2 \le \frac1y + 2  \le \frac{1}{12} + 2\)

\(2\frac{1}{16} \le \frac1y + 2  \le 2\frac{1}{12}\)

Пояснения:

Чтобы оценить выражения использовали свойства неравенств:

- если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство;

- если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство;

- если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство;

- если \(a\) и \(b\) - положительные числа и \(a < b\), то \(\frac1a > \frac1b\).