Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№923 учебника 2023-2025 (стр. 206):
Принадлежит ли промежутку \((-\infty; 2)\) число \(1,98\)? Укажите два числа, большие \(1,98\), принадлежащие этому промежутку. Можно ли найти наибольшее число, принадлежащее этому промежутку? Существует ли в этом промежутке наименьшее число?
№923 учебника 2013-2022 (стр. 207):
Докажите, что полупериметр треугольника больше длины каждой из его сторон.
№923 учебника 2023-2025 (стр. 206):
Вспомните:
№923 учебника 2013-2022 (стр. 207):
№923 учебника 2023-2025 (стр. 206):
\(1,98 \in (-\infty; 2)\)
\(1,99 \in (-\infty; 2)\)
\(1,995 \in (-\infty; 2)\)
Наибольшее число, принадлежащее промежутку, найти нельзя.
Наименьшего числа не существует.
Пояснения:
Промежуток \((-\infty; 2)\) включает все числа меньше 2, но не включает само число 2, так как скобка около двойки круглая.
1) Проверим число \(1,98\): оно меньше 2, значит, принадлежит промежутку.
2) Чтобы указать числа больше \(1,98\), но всё ещё меньше 2, можно взять, например, \(1,99\) и \(1,995\). Они оба удовлетворяют условию.
3) Наибольшего числа нет, так как как число 2 не входит в промежуток.
4) Наименьшего числа тоже нет, так как промежуток уходит минус бесконечности.
№923 учебника 2013-2022 (стр. 207):
Пусть стороны треугольника равны \(a,b,c\), тогда полупериметр
\( p=\frac{a+b+c}{2}. \)
По неравенству треугольника:
1) \(a < b + c\)
\(a + a < a + b + c\)
\(2a < a + b + c\) \(/ : 2\)
\(a < \frac{a + b + c}{2}\)
2) \(b < a + c\)
\(b + b < a + b + c\)
\(2b < a + b + c\) \(/ : 2\)
\(b < \frac{a + b + c}{2}\)
3) \(c < a + b\)
1) \(c < a + b\)
\(c + c < a + b + c\)
\(2c < a + b + c\) \(/ : 2\)
\(c < \frac{a + b + c}{2}\)
Что и требовалось доказать.
Пояснения:
Полупериметр треугольника — это половина суммы длин всех его сторон: \[ p=\dfrac{a+b+c}{2}. \]
Согласно неравенству треугольника: длина каждой стороны треугольника меньше суммы длин двух других его сторон, то есть:
\(a < b + c\),
\(b < a + c\),
\(c < a + b\).
Рассмотрим неравенство
\(a < b + c\).
Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство. Прибавим к обеим частям неравенства \(a\):
\(a + a < a + b + c\),
\(2a < a + b + c\).
Если обе части верного неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство. Разделим обе части полученного неравенства на 2, получим:
\(a < \frac{a + b + c}{2}\).
То есть сторона \(а\) треугольника меньше полупериметра этого треугольника.
Аналогично доказываем то, что стороны \(b\) и \(c\) треугольника меньше его полупериметра.
Вернуться к содержанию учебника