Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№507 учебника 2023-2025 (стр. 114):
Докажите, что значение выражения
\[\sqrt{\,b + 49 - 14\sqrt{b}\,}\;+\;\sqrt{\,b + 49 + 14\sqrt{b}\,}\]
при \(0 \le b \le 49\) не зависит от \(b\).
№507 учебника 2013-2022 (стр. 115):
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а) \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt2+\sqrt3+1};\)
б) \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt5-\sqrt3+2}.\)
№507 учебника 2023-2025 (стр. 114):
Вспомните:
№507 учебника 2013-2022 (стр. 115):
Вспомните:
№507 учебника 2023-2025 (стр. 114):
\(\sqrt{\,b + 49 - 14\sqrt{b}\,}+\sqrt{\,b + 49 + 14\sqrt{b}}=\)
\(=\sqrt{(\sqrt b)^2 - 2 \cdot\sqrt{b} \cdot7 + 7^2}+\sqrt{(\sqrt b)^2 + 2 \cdot\sqrt{b} \cdot7 + 7^2}=\)
\( =\sqrt{\bigl(\sqrt{b}-7\bigr)^2} + \sqrt{\bigl(\sqrt{b}+7\bigr)^2} =\)
\(= \bigl|\sqrt{b}-7\bigr| + \bigl|\sqrt{b}+7\bigr|. \)
\(0\le b\le49\) тогда \(0\le\sqrt{b}\le7\), значит
\( \bigl|\sqrt{b}-7\bigr| + \bigl|\sqrt{b}+7\bigr| =\)
\(=-(\sqrt{b}-7) + (\sqrt{b}+7) =\)
\(= 7-\cancel{\sqrt{b}} + \cancel{\sqrt{b}}+7 = 14 \) - не зависит от \(b\) при \(0\le b\le49\).
Пояснения:
Использованные формулы:
1. Квадрат разности:
\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
2. Квадрат суммы:
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
3. Свойство корня:
\((\sqrt x)^2 = x\).
4. Противоположные выражения:
\(a - b = -(b-a)\).
5. Свойство корня:
\(\sqrt{a^2} = |a| = a\), если \(a\ge0\);
\(\sqrt{a^2} = |a| = -a\), если \(a<0\).
6. По условию \(0\le b\le49\) тогда
\(0\le\sqrt{b}\le7\), поэтому:
\( \sqrt{b}-7 < 0\), значит
\(|\sqrt{b}-7| = -(\sqrt{b}-7) = 7 - \sqrt{b}\);
\( \sqrt{b}+7 \ge 0\), значит
\(|\sqrt{b}+7| = \sqrt{b}+7.\)
№507 учебника 2013-2022 (стр. 115):
а) \( \frac{1}{\sqrt2+\sqrt3+1}=\)
\(= \frac{1\cdot(\sqrt2+\sqrt3-1)}{(\sqrt2+\sqrt3+1)(\sqrt2+\sqrt3-1)}=\)
\(= \frac{\sqrt2+\sqrt3-1}{(\sqrt2+\sqrt3)^2-1^2}=\)
\(= \frac{\sqrt2+\sqrt3-1}{(\sqrt2)^2+2\cdot\sqrt2\cdot\sqrt3+(\sqrt3)^2-1}=\)
\(= \frac{\sqrt2+\sqrt3-1}{2+2\sqrt6+3-1}=\)
\(= \frac{\sqrt2+\sqrt3-1}{4+2\sqrt6}=\)
\(= \frac{\sqrt2+\sqrt3-1}{2(2+\sqrt6)}=\)
\(= \frac{(\sqrt2+\sqrt3-1)(2-\sqrt6)}{2(2+\sqrt6)(2-\sqrt6)}=\)
\(= \frac{2\sqrt2+2\sqrt3-2-\sqrt{12}-\sqrt{18} + \sqrt6}{2(2^2-(\sqrt6)^2)}=\)
\(= \frac{2\sqrt2+2\sqrt3-2-\sqrt{4\cdot3}-\sqrt{9\cdot2} + \sqrt6}{2(4-6)}=\)
\(= \frac{2\sqrt2+\cancel{2\sqrt3}-2-\cancel{2\sqrt{3}}-3\sqrt{2} + \sqrt6}{2\cdot(-2)}=\)
\(= \frac{-\sqrt2-2 + \sqrt6}{-4}=\)
\(= \frac{-(\sqrt2+2 - \sqrt6)}{-4}=\)
\(= \frac{\sqrt2+2 - \sqrt6}{4}\)
б) \( \frac{1}{\sqrt5-\sqrt3+2}=\)
\(= \frac{1\cdot(\sqrt5-\sqrt3-2)}{(\sqrt5-\sqrt3+2)(\sqrt5-\sqrt3-2)}=\)
\(= \frac{\sqrt5-\sqrt3-2}{(\sqrt5-\sqrt3)^2-2^2}=\)
\(= \frac{\sqrt5-\sqrt3-2}{(\sqrt5)^2-2\cdot\sqrt5\cdot\sqrt3 +(\sqrt3)^2-4}=\)
\(= \frac{\sqrt5-\sqrt3-2}{5-2\sqrt{15} +3-4}=\)
\(= \frac{\sqrt5-\sqrt3-2}{4-2\sqrt{15} }=\frac{\sqrt5-\sqrt3-2}{2(2-\sqrt{15}) }=\)
\(=\frac{(\sqrt5-\sqrt3-2)(2+\sqrt{15})}{2(2-\sqrt{15})(2+\sqrt{15}) }=\)
\(=\frac{2\sqrt5-2\sqrt3-4+\sqrt{75}-\sqrt{45}-2\sqrt{15}}{2(2^2-(\sqrt{15})^2) }=\)
\(=\frac{2\sqrt5-2\sqrt3-4+\sqrt{25\cdot3}-\sqrt{9\cdot5}-2\sqrt{15}}{2(4-15) }=\)
\(=\frac{2\sqrt5-2\sqrt3-4+5\sqrt{3}-3\sqrt{5}-2\sqrt{15}}{2\cdot(-11) }=\)
\(=\frac{-\sqrt{5}+3\sqrt3-2\sqrt{15}-4}{-22 }=\)
\(=\frac{-(\sqrt{5}-3\sqrt3+2\sqrt{15}+4)}{-22 }=\)
\(=\frac{\sqrt{5}-3\sqrt3+2\sqrt{15}+4}{22 }\)
Пояснения:
Использованные приёмы и формулы:
1. Чтобы избавиться от иррациональности (корней) в знаменателе, умножают числитель и знаменатель на такое выражение, которое вместе с выражением, стоящим в знаменателе, образует разность квадратов:
\((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\);
\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\).
2. Квадрат суммы и квадрат разности:
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);
\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
3. Свойства корня:
\( \sqrt{a}{b}=\sqrt{ab}\);
\((\sqrt{x})^2 = x\).
4. Свойство дроби:
\(\frac{-a}{-b} = \frac{a}{b}\).
Вернуться к содержанию учебника