Упражнение 411 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 98

\( S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}, \)

где \(p\) — полупериметр треугольника.

1) а) Если \(a=12\), \(b=16\), \(c=24\), то

\( p = \frac{12 + 16 + 24}{2} =\frac{52}{2}= 26. \)

 \(S = \sqrt{26\,(26-12)\,(26-16)\,(26-24)} = \)

\(=\sqrt{26\cdot14\cdot10\cdot2} = \sqrt{7280} \approx 85{,}3\) (см²)

б) Если \(a=18\), \(b=22\), \(c=26\), то

\( p = \frac{18 + 22 + 26}{2} = 33. \)

\( S = \sqrt{33\,(33-18)\,(33-22)\,(33-26)} = \)

\(=\sqrt{33\cdot15\cdot11\cdot7} = \sqrt{38115} \approx 195{,}2\) (см²).

3) Пусть \(a\), \(b\), \(c\) - стороны первого треугольника, тогда его полупериметр

\(p_1 = \frac{a + b + c}{2}\),

а площадь

\( S_1 = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}. \)

Тогда \(2a\), \(2b\), \(2c\) - стороны второго треугольника, тогда его полупериметр

\(p_2 = \frac{2a + 2b + 2c}{2}=\)

\(=\frac{2(a + b + c)}{2} = 2p_1\),

а площадь

\( S_2 = \sqrt{p_2(p_2 - 2a)(p_2 - 2b)(p_2 - 2c)}= \)

\(=\sqrt{2p_1(2p_1 - 2a)(2p_1 - 2b)(2p_1 - 2c)}=\)

\(=\sqrt{2p_1\cdot2(p_1 - a)\cdot2(p_1 - b)\cdot2(p_1 - c)}=\)

\(=\sqrt{16p_1(p_1 - a)(p_1 - b)(p_1 - c)}=\)

\(=\sqrt{16}\sqrt{p_1(p_1 - a)(p_1 - b)(p_1 - c)}=\)

\(=4S_1\)

Ответ: площадь треугольника увеличится в 4 раза.

Пояснения:

– Полупериметр \(p\) определяется как половина суммы сторон.

– В формуле Герона подкоренное выражение всегда неотрицательно для любой тройки сторон, удовлетворяющих неравенству треугольника.

– При увеличении всех сторон в \(k\) раз полупериметр умножается на \(k\), а под корнем получается множитель \(k^4\), откуда площадь увеличивается в \(k^2\) раза.

– Для \(k=2\) новая площадь \(S_2 = 4S_1\): при удвоении сторон площадь возрастает в 4 раза.

– Свойство корня:

\(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\).

1. \(\sqrt{2\sqrt{17}-4}\) - имеет смысл.

\(2\sqrt{17}-4 =\sqrt{2^2\cdot17}-\sqrt{16}= \)

\(=\sqrt{4\cdot17}-\sqrt{16} = \sqrt{68}-\sqrt{16} > 0\)

2. \(\sqrt{2\sqrt{2}-\sqrt{7}}\) - имеет смысл.

\(2\sqrt{2}-\sqrt{7} = \sqrt{2^2 \cdot 2} - \sqrt{7}=\)

\(=\sqrt{4\cdot2} - \sqrt{7} = \sqrt{8}-\sqrt{7}>0\).

3. \(\sqrt{6\sqrt{3}-7\sqrt{2}}\) - имеет смысл.

\(6\sqrt{3}-7\sqrt{2} =\sqrt{6^2\cdot3} - \sqrt{7^2\cdot2}= \)

\(=\sqrt{36\cdot3} - \sqrt{49\cdot2} =\)

\(=\sqrt{208} - \sqrt{98}>0\).

4. \(\sqrt{8\sqrt{3}-14}\) - не имеет смысла.

\(8\sqrt{3}-14 = \sqrt{8^2\cdot 3} - \sqrt{196}=\)

\(=\sqrt{64\cdot 3} - \sqrt{196} = \)

\(=\sqrt{192} - \sqrt{196} < 0\).

Ответ: 4.

Пояснения:

Использованные приемы:

- Выражение \(\sqrt x\) имеет смысл только тогда, когда \(x\geqslant0\).

- Сравнение корней:

\(\sqrt x \geqslant \sqrt y\), только в том случае, когда \(x \geqslant y\).

- Чтобы внести числовой множитель \(k\) под знак корня, каждый внешний числовой множитель \(k\) возводят в квадрат и умножают на подкоренное выражение:

\( k\sqrt{A} = \sqrt{k^2\cdot A}. \)